上海大学量子力学教学PPT第三章.ppt

绪论 第三章 量子力学中的力学量 物理意义: 当体系处于 态时, 就等于对于 的所有测量值的平均; §3-6力学量的统计分布 当系统处于力学量算符的本证态时，测量该力学量有确定的值，即本征值。 几率幅 本征态ψ1中测量A得到本证值λ1的概率为1 本征态ψ2中测量A得到本证值λ2的概率为1 设任一量子态ψ是力学量A的本征态ψn，，n=1,2,3…的叠加： 得到几率幅公式： * 力学量算符 厄米算符的本征值、本征函数 算符的基本性质 力学量的平均值 氢原子 测不准关系 §3-1 力学量的平均值 用算符表示力学量是由于量子体系所固有的波粒二象性所要求的,表示量子态的波函数是一种几率波,即使在一确定量子态中也并非各种力学量都有完全确定值,而表现为不同数值的统计分布.从力学量的平均值的表示式出发,来说明引入算符的必要性. 结论:在状态 中求动量分量 的平均值,只需要以相应的微算符 ,作用在 上,然后乘以 ,再对全空间积分. 对于每一个表示成粒子的位置和动量的函数的力学量 , 对应着一个量子力学的算符 ,它是用 代替p而得到的,在波函数表示的状态中,力学量A的平均值为: 如果 为 的一个本征态,则 就等于对应的本征值; 如果可以在经典力学与量子力学间建立对应关系,那么与经典力学量对应的便是量子力学中的力学量的平均值; 算符就是代表某种运算的符号,把算符 作用到某个函数 上,就是表示对函数 进行某种运算,结果将会得出一个新的函数 ,不管这种具体运算是什么,都可以把它抽象地表示为: §3-2 算符的基本性质 一、 算符的运算规则 1. 算符之和 算符 和 之和 ,定义为: 为任意函数,算符之和满足交换律和结合律 2. 算符之积 算符 和 之积 ,定义为: 算符之积与算符的前后次序有关,不满足交换律 3. 算符的乘幂 算符 和n次幂定义为: 二、 线性算符和厄米算符 若算符 满足: 2. 厄米算符 对于任意两个函数 和 ，如果算符 满足: 1. 线性算符 其中， 是任意两函数， 是两个常数，则 是线性算符 三、 算符的本征值方程，本征值和本征函数 则称 为 的本征值，为属于 的本征函数，方程为算符 的 本征值方程。 如果算符 作用于一个函数 ，结果等于 乘以一个常数 §3-3 厄米算符的本征值、本征函数 由于力学量的观测值应为实数,一般地力学量在任何状态下的观测量就是在该状态下的平均值 1. 厄米算符的平均值是实数 反过来，在任何状态下的平均值为实数的算符必为厄米算符。 证： 由本征方程 得： 利用厄米算符的平均值是实数的性质得本征值必为实数 2. 厄米算符的本征值为实数 厄米算符在本征态中的平均值就等于本征值。 正交：如果两函数 和 满足关系式 式中，积分是对变量变化的全部区域进行的，称 和 相互正交。 3. 厄米算符属于不同本征值的本征函数正交 而属于相同本征值的本征函数则可以组成彼此正交的本征函数。 证：设 是厄米算符 的本征函数，它们所属的本征值 都不相等，要证明当 时，有 已知： 以 右乘上式（3.3.3)两边，并对变量整个区域积分： 由厄米算符定义得: 即式(4.3.4)和(4.3.6)两式相减得: 当 时， 因 是厄米算符，它的本征值是实数，即 以 左乘式（3.3.2)两边，并对变量整个区域积分： 设 已归一化 因 ,则: 设 是厄米算符的本征函数系,n即可以是连续也可以 是分立的,可以证明,任何与 满足同样边界条件且在同样区域内定义的波函数 可按 展开. 4. 厄米算符本征函数系具备完备性 若本征值n连续,上式改为: §3-4 力学量算符 微观粒子存在着一些特定状态,其中定态是最重要的一类,另外还有其它力学量的本征态,这些状态是微观粒子的一些特有的状态,我们称为量子态. 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符,它们的本征函数组成完全系,在体系的任何一个状态中,观测力学量A所得的数值,必定是 的本征值之一. 量子力学中表示力学量的算符应该具备什么条件呢? 根据态的叠加原理的要求,力学量算符是线性的;还必须是厄米的,因为当粒子处于某个状态时,测量该状态下力学量的值必定是实数,既可观测量必然是实数,其平均值也是实数,根据厄米算符的性质,平均值为实数的算符必