吴孟达-数学建模中的创新案例.pptx

数学建模中的创新案例 国防科技大学 吴孟达 2012年６月1６日;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15;16;17;18;19;20;21;22;23;24;25;　　　某地区内有１２个气象观测站（位置如图）。１０年来各站测得的年降水量如表一。为了节省开支，想要适当减少气象观测站。问题：减少哪些观测站可以使得所得到的降水量的信息量仍然足够大？;;　　　【问题分析】 　　　问题给出了地理位置信息及降水量信息，但前者未给出具体信息，所以建模时的主要依据是降水量信息，地理位置信息仅作为参考信息。 　　　问题可以分解为以下几个问题： 　　　①　删除哪几个站？ 　　　②　如何预测被删除站的降水量信息？ 　　　③　如何度量被删除站的降水量预测信息量是否足够充分？;　　　【模型假设】 　　　①　所给的降水量信息反映了各观测站气象环境之间的相似性； 　　　②　各观测站每年的降水量视为一个围绕其均值上下波动的正态分布随机变量。 　　　;　　　【模型建立与求解】 　　　首先考虑各站10年降水向量之间的相关性，计算相关矩阵，根据相关系数大小将12个变量分为三类： 　强相关变量：x3 ,x7 (ρ3,7 = 0.81)； 中度相关变量： x4 , x6 , x8 , x10 , x11 , x12 (0.4 ≤ ρi,j 0.7)； 轻度相关变量：其他变量。 　　　显然，强相关及中度相关变量应优先考虑删除。;　　　其次考虑标准差。对于标准差较大的站，其个性特征就越明显，因而包含的信息量就越大。在同等条件下，可优先考虑删除标准差较小的站。;　　　综合以上两项指标，可以考虑删除的站有： D = { x4 , x6 , x7 , x8 , x10 , x11 , x12 } 　在Ｄ中任取ｒ个变量（r = 3,4,…,7）作为拟删除变量的组合，这样的组合共有99种。对每一种组合作关于其余变量的线性拟合，根据剩余方差最小并且每一个回归自变量均为显著自变量的标准选出最佳删除组合为： x6 , x7 , x8 , x10 , 相应的回归方程为：;　　【结果分析】 　　上述四个回归方程的剩余方差为： 　　定义信息损失比率 计算出被删除的四个站的信息损失比率分别为： 平均信息量损失为： 即删除４个站后，被删除站的降水量信息仍保留了90%以 上，故效果可以令人满意。;　　　建模小结： 　　　对各种统计信息（如相关系数、降水量变化标准差、回归方程剩余方差、信息损失比率）的正确解读和合理应用，是本模型给我们的最大启示。;36;37;38;39;40;41;42;43;44;45;46;47;48