6章与Hadamard乘积矩阵的直积.ppt

第6章 矩阵的Kroneker积和Hadamard积 The Kroneker Product and Hadamard Product 概述： 内容： 介绍Kronecker积和Hadamard积 讨论 K-积，H-积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系 K-积，H-积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系 介绍应用 向量化算子 重点：K-积及其应用 61 Kroneker积和Hadamard积的定义 定义6. 1（P . 136） 设矩阵A=[aij]m ? n和B=[bij]s?t矩阵 ，则A, B 的Kronecker被定义为A?B： A?B=[aijB]m?n 设A =[aij]m ? n和B=[bij] m ? n为同阶矩阵，则A和B的Hadamard被定义为A ? B： A?B= [aijbij]m ? n 例题1 设 ，计算 A?B，B?A，I?B，A?B，I?A K-积，H-积的基本结果： A和B中有一个为零矩阵，则A?B=0，A?B=0 I?I=I，I?I=I 若A为对角矩阵，则A?B为分块对角矩阵，A?B为对角矩阵。 K-积的基本性质 定理6.1（P . 138）设以下矩阵使计算有意义，则 （kA）?B=A?（kB） A?（B+C）=A?B+A?C （A?B）?C=A?（B?C） （A?B）H=AH?BH A?B ? B?A H-积的基本性质： 设A，B为同阶矩阵，则 A?B=B?A （kA）?B=A?（kB） A?（B+C）=A?B+A?C （A?B）?C=A?（B?C） （A?B）H=AH?BH Kronecker和Hadamard的关系： 定理6.3（P . 139） K-积与矩阵乘法 定理6.2（P . 138）设矩阵A，B，C，D使得下列运算有意义，则有 (A?B) (C?B)=（AC）?（BD） 意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互转换。 特别情形：设A?F m ? m ，B ? F n ? n，则 A?B=(Im ?B) (A?I n)= (A?I n) (Im ?B) 6.2Kronecker积和Hadamard积的性质 Kronecker积的矩阵性质 定理6.4 （P . 140）设矩阵使下列运算有意义，则 当A，B分别为可逆矩阵时，A?B为可逆矩阵，而且有 (A?B) –1 =A–1?B –1 当方阵A ?F m ? m ，B ?F n ? n时，方阵A?B ?F mn ? mn的行列式为 |A?B| =|A|n |B| m 若A，B 是Hermite矩阵，则A?B是Hermite矩阵 若A，B 是酉 矩阵，则A?B是酉矩阵。 Kronecker与矩阵等价、相似关系 定理6.5（P . 141） 设矩阵A，B，为同阶的等价矩阵，则(A?I)等价于(I?B) 设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(A?B) 相似于(JA?JB) K-积特征值和特征向量 定理6.6（P . 142）设A?F m ? m 的特征值特征向量分别是?i，xi，B ? F n ? n的特征值、特征向量分别是 ?j ， yj，则 (A?B) 的特征值是?i?j 。特征向量是(xi?yj) 。 (A?I) +(I?B) 的特征值是?i + ?j ，特征向量是(xi?yj) 更一般的结果： 定理6.7（P . 142） 的特征值为 Kronecker的函数性质 定理6.8（P . 143）设是f(z)解析函数，f(A)有意义，则 f (I?A) =I?f(A) f(A?I) =f(A)?I 特例： 例题1 设 A?F m ? n ， B?F s ? t ，证明 rank（A ? B）=rank（A）rank（B） 6. 3 矩阵的向量化算子和K-积 向量化算子Vec 定义（P . 143）设 A=[aij]m ? n 则 Vec(A) = (a11 a21 … am1； a12 a22 … am2 ；…； a1n a2n … amj)T 性质：（P . 146） Vec是线性算子： Vec（k1A+k2B）=k 1Vec ( A ) +k2 Vec ( B) 2 定理6. 10（P . 146）Vec(ABC) =(CT ? A) VecB 3 Vec(AX) =(I ? A) VecX 4 Vec(XC) =(CT ? I)