无穷积分被积函数的极限问题.pdfVIP

第26卷第11期 怀化学院学报 V01．26．No．1l 2007年1 1月 JOURNAL 0F HUAIHUA UNIVER$1TY Nov．，2007 无穷积分被积函数的极限问题 玉 璋 (钦州学院电大教学部， 广西钦州 535000) 摘 要：目的：讨论无穷积分I，( )dx的被积函数，( )当 一4-aO时的极限情况．方法：利用函数 )在[口， J 口 4- )上一致连续的一些性质和结论．结果：给出了无穷积分I ，( )dx的被积函数极限lira，( )=0的一些条件及其 J d J‘’+0 ∞ 证明．结论：无穷积分l，( )dx收敛时被积函数极限limf( )=0必须附加一定的条件下才能成立。这与数项级数 J 4 ‘’ +■ 和函数项级数收敛时一般项趋于零是不一致的． 关键词：无穷积分； 被积函数； 极限 中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1671—9743(2007)ll一0104—03 无穷积分l，( )dx收敛，则有当 一+∞时 I f( 。)一f( 2)Ie． J 故函数f( )在[o，+∞)上一致连续． f( )一0是否成立?反之是否成立?结果答案都是否 引理2 若函数f( )在区间，满足李普希茨 定的．例如lim sinx 不存在，但I sinx dx收敛，而 (Lipschitz)条件，即V ，Y∈，，有I f( )一f(Y)I s 一+ J 0 lim _=-1 I —Y I，其中 是常数且L0，则在，上一致连 ： o，但r 发散…．由此可见，这一结果 _．+∞ J n 续 ． 和数项级数和函数项级数收敛时一般项趋于零是不 证明 V e0，V ，Y∈，，解不等式 一 致的．无穷积分和级数之间有内在的联系，而在这 I f( )一f(Y)I s L I —Y Ie．得 一 点上两者不一样，所以一个自然的问题就是无穷积 I —Y I手， 分的被积函数在什么样的条件下极限存在且当 一+∞时为零． 取 =詈( o)，于是V eo，取 =Ze-，则V ， 引理 1 若函数f( )在[o，+∞)连续。且 Y∈，及 I —Y I0，有 lira f( )=b，则函数f( )在[o，+∞)上一致连 I f( )一f(Y)Ie． 续 ． 故函数f( )在，上一致连续 ． 证明 已知lira f( )：b，