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第26卷 第4期 延安大学学报(自然科学版) Vo1．26 No．4 2OO7 12月 Journal of Yanan University(Natural Science Edition Dec．20o7 关于Fibonacci多项式的一个组合恒等式 祁 兰 ，赵院娥2 (1．榆林学院 数学系，陕西 榆林 719000；2．延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000) 摘 要：主要研究了Fibonacci多项式，得到了一个Fibonacci多项式和Fibonacci数列的恒等式。 关键词：Fibonacci多项式；Fibonacci数；恒等式 中图分类号：0156．4 文献标识码：A 文章编号：1004-602X(2007)04-0001-03 生! !(k— )!。 1 引言及其结论 推论 对任意的非负整数n及正整数 ，有 … F。F。 F 著名的Fibonacci数列¨ 是由F0=1，F1=1及 。 2 。 n。+ - +n =n (01+1)!(02+1)!…(0I+1)! 二阶线性递推公式F +：=F +F 所给出的，它在 数学理论及应用的研究中占有重要地位。许多学者 ： 。 c乏c (一1)-i( + + )n． ‘ 对其进行了研究，得到了大量关于Fibonacci数的一 些恒等式 ’3]。作为Fibonacci数的一般化，可定义 2 一个简单引理 Fibonacci多项式F ( )：F +2( )=xF +1( )+F 引理1 若Fo( )=1，F ( )=z，F +2( )= (z)，其中F0( )=1，F ( )= 。当 =1时，F (1) 即为Fibonacci数。本节利用初等的方法给出关于 xF +。( )+ ( )，贝0 Fibonacci多项式和Fibonacci数的一个恒等式，即下 Fn( )：— [( ) 面的定理： ~／ +4 定理 对任意的非负整数n及正整数k，有 一一r 二( ± 、n+ 1 ／ ]． 、 ^ J’ 证明 由Fibonacci多项式的递推公式F +：( )= i囊c 厢 + xF +。( )+F ( )，其中F0( )：1，F ( )= ．可得 它的