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第26卷 第4期 延安大学学报(自然科学版) V01．26 No．4 2007年 12月 Journal of Yangn University(Natural Science Edition Dec．2OO7 关于二阶随机控制函数的若干命题的证明 乔克林，赵院娥 (延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000) 摘 要：借助二阶随机控制函数，给出了研究标准差和平均差关系的若干命题的严格证明，从而对 进一步的随机理论和应用研究提供严密的数学基础。 关键词：平均差，标准差，二阶随机控制函数 中图分类号：0212， 文献标识码：A 文章编号：1004-602X(2007)04-0015-03 本文献[1]中，给出了利用二阶随机控制函数 由已知，』!。I dF( )收敛， 证明标准差与平均差的若干命题，在文献[2]中，利 故 lim I．，7IF(．，7)：0。 用平均差和标准差的关系对证券组合投资优化问题 则进一步有 lim r／F( )：O，引理得证。 进行了研究。但笔者认为，文献[1]中的证明过程 因为F ( )：』!。F(x)dx： 不够严密，本文试图给出严格的证明过程。 xF( )I!。一』!。xdF( )， 定义1 设 为一般随变量，数学期望EX存 由引理1，当 的期望存在时，F ( )在(一∞，∞) 在，若IX—EXI的数学期望 IX—EXI存在，称其为随 上是有意义的函数，该函数非负，单调增加。 机变量 的平均差，记为A．D。 引理2 设随机函数变量 的二阶矩EX2存 定义2 设 为一随机变量，数学期望EX存 在，则 在，若(X—EX) 的数学期望E(X-EX) 存在，称其为 ①lim 7／2F( )：O，其中F为 的分布函数． 随机变量 的方差，记为 ， ：JE(X-EX) 为其 ②lim．，7F‘ (．，7)：O 随机变量 的标准差。 证明：设一∞ 田0， 定义3 设 为一随机量，F( )为 的分布函 贝0 712F(n)：712』!。dF(x)≤』!。 dF(x) 数，若F ’(．，7)：』!。F( ) 存在，(一∞．，7 由已知，f!。 dF(x)收敛， ∞)，称其为随机变量x的二阶随机控制函数。 根据定义，当随机变量的数学期望存在时，显然 故 lim F(71)：0，①得证，应用罗比塔法则 其平均差也是存在的。 及①可证②。 引理1 若随机变量 的数学期望存在，则 引理3 设随机变量 的二阶矩EX2存在，则 lira xF( )：0，其中F( )为 的分布函数。 lim．，7 (1一F(．，7))：0。 证明：设一∞ ≤ 0，则 证明：设071≤ ∞，则 I．，7 I F(．，7)：I．，7 I(F(．，7)一F(一