具有弱稳定秩n的模.pdfVIP

第22卷第1期 甘肃联合大学学报(自然科学版) Vo1．22 No．1 2008年 1月 Journal of Gansu Lianhe University(Natural Sciences) Jan．2008 文章编号：1672—691X(2008)O1—0013-03 具有弱稳定秩7，z的模 宋 鹏 (西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃兰州730070) 摘 要：设M是模，E—End(M)是模M的自同态环．本文引人了模M的弱稳定秩”，并证明了：如果R是弱稳 定秩”的，那么ere也是弱稳定秩”的．如果M是弱稳定秩 的投射R模，并且对任意”生成R模B，和任意R 模A，若MO B兰MO A，那么B兰A_特别地，若R是交换的P．P．一环，则 有弱稳定秩1． 关键词：稳定秩1；可消性；弱稳定秩” 中图分类号：O153．3 文献标识码：A 贯穿全文，R是有单位元的结合环，模是右 0 引言 模．A≤B指的是A是B的子模，R”指的是O 可消性问题是指：如果A④B兰AoC，是否 R，R∈Srl指的是环R有稳定秩1． 有B兰C．已知的结果是： 1 主要结果 (1)Dedekind整环上的投射模有可消性； (2)整数环有可消性； 定义1 设M是一个R模，E=End(M)， (3)自同态环有稳定秩1的模有可消性． 是正整数，称M是弱稳定秩 的，如果对任意 在文献[1]中，作者证明了如果M是一个 a，b∈E，g∈ Hom(R”，M)， ∈ Hom(M，R )， Artinian模，那么M的自同态环有稳定秩1．在 若a6+ 一1 ∈E，那么存在r∈Hom(M ，R”)， 文献[2]中，作者证明了如果M是一个具有有限 使得 唯一和有限余唯一维数的模，那么M的自同态环 a+gr= ∈ Hom(M ，g(R )) 有稳定秩1．由(3)，这些模可以从直和的同构式 是一个同构，其中M 一n (g(R ))三{z∈MI n 中消去． (z)∈g(R ))． 稳定秩1对模的可消性起重要作用．在这一 由[6]，称R模M是弱稳定的，如果对任意集 领域已有许多结果(见文献[1]．[3]，E4-]，[5]， 合I，任意a，bEE，g∈Hom(R ，M)， ∈ [6]，[7])． Hom(M，R )，若n6+g仃=1M∈E，那么存在r∈ 许多作者以不同的方式推广了稳定秩 1条件 Hom(M ，R )，使得 (见文献[3]，[6]，[7])．这些推广是很有价值的并 a+gr一 ∈ Hom(M ，g(R )) 且有很多应用．但是，一般来说，一个具有这些广 是一个同构，其中M 一n (g(R ))三{z∈MI a 义稳定秩条件的环R，若ROB兰ROc，并不能 (z)∈g(R ))． 推出B C(见[2]，[6]，[7])． 称M是有限弱稳定的，如果对任意有限指标 在本文中，我们引入了模M的弱稳定秩 ， 集I，满足上述条件． 它是对稳定秩1的推广．所有自同态环有稳定秩 显然，若M是弱稳定的，则对于任意正整数 1的模是弱稳定秩 的．如果R是弱稳定秩