分期付款购房模型及其抛物障碍问题.pdfVIP

2007，27A(6)：987-995 暧 数学物理学报 分期付款购房模型及其抛物障碍问题 坚雄飞 易法槐 (华南师范大学数学科学学院 广州510631) 摘要：考虑常数利率条件下的分期付款购房模型，若风险资产市场价格服从几何布朗运动，则 合约可以运用美式期权定价方法给出合理的价格．该文给出了分期付款购房合约定价的偏微 分方程方法，得到一个一维抛物障碍问题，同时给出了贷款合约价格函数所联系的自由边界， 并讨论了自由边界的单调性与有界性． 关键词：期权定价；分期付款购房；抛物障碍问题；自由边界． MR(2000)主题分类：35R35 中图分类号：O175．2 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2007)06—987-09 1 引言及介绍 分期付款购房模型的核心问题是对相关的抵押贷款合约的市场价格进行研究并给出合 理的定价．按交易发生的主体行为，分期付款购房是指购房人以未来拥有的房产作为抵押物 而从拆借金融机构比如银行获得一笔贷款，由于购房者或无力一次性付清所有购房款而与金 融机构发生系列债务支付，这即是通常的抵押贷款行为．抵押贷款是这样一份合约，它允许 借款人抵押某种风险资产而以协议利率从金融机构获得资金，即贷款．常见的如不动产抵押 贷款等，例如住房抵押贷款．以不动产抵押贷款为例，不动产合法的由销售者转移到购买者 那一时刻称为交割日，交割日一般也是贷款日．不考虑交割中其他费用，贷款额一般与抵押 风险资产在交割日的市场价格相同．贷款合同期限为交割日到最后一个还款日之间的时间期 限，在合同期限内，偿还不动产抵押贷款几乎总是每月一次．传统的抵押贷款一般为固定利 率抵押贷款，市场利率的变动对贷款人将造成不同方向的现金流形式．我国目前的住房抵押 贷款一般采用可调利率抵押贷款，包括利率上限抵押贷款与还款上限抵押贷款两种形式．这 时候市场利率变化形成的风险主要由借款人承担．可调利率抵押贷款一般受诚实信贷的特 别条款的规定，比如提前还款规定等．由于风险资产的市场价格变化，从贷款人对合同的执 行情况看有三种方式：继续持有合同直到合同终止；提前支付贷款使合同提前终止；违约． 在某些国家和地区，不允许提前支付发生．本文主要考虑这种情形下的分期付款购房模型， 换言之，贷款人要么违约，要么持有合同直到合同终止．对抵押贷款的研究由来已久，见文 献『12]及其相关文献．以确定性模型看，具体的抵押贷款问题对应着唯一一个还款计划，即 还款人严格按照还款计划或者偿债基金表来执行合约之规定直到合约终止，合约不得提前 收稿日期；2005—10—13；修订日期：2007-02—14 E—mail：xfjian@21cn．com 基金项目：国家自然科学基金、广东省自然科学基金(5005930)、高等学校博士学科点专项基金 (20060574002)资助 988 数 学 物 理 学 报 VlO1．27A 支付．我国通常的还款方法有等额还款法和比例递减法等．近来更出现了运用期权定价方法 研究抵押贷款的诸多文章，见文献[1][2][6][8][9][10][14]等． 本文考虑固定市场利率抵押贷款模型，假设抵押物所代表的风险资产为住房，其价格服 从如下几何布朗运动 ： rdt+od～JJt，dt+ ， (1_1)(1．1) 其中 为正常数，它表示风险资产的市场波动率， 表示一维标准布朗运动．r表示 市场利率，本文假设为正常数． 设M(O)为借款总额，若不考虑其他费用且首期付款为零，则M(O)应和风险资产日交 易时刻的价值相同，即M(O)=日(0)．假定C为固定月协议合同利率， 表示按月缴交的合 约期限，m表示每月借款人支付金额．若看做连续支付，则t时刻剩余贷款额M(t)满足如 下常