剩余类环Z／nZ上的一致全向置换的存在性.pdfVIP

第2O卷 第4期 青 岛大学学报 (自然科学版 ) v01．20 N。．4 2 0 0 7年1 2月 JOURNAL OF QINGDAO UNIVERSITY(Natural Science Edition) Dec．2 0 0 7 文章编号：1006—1037(2007)04—0026—03 剩余类环Z／nZ上的一致全向置换的存在性 刘秀玲 ，徐克舰 ，范修斌 (1．青岛大学数学科学学院，青岛266071；2．中国科学院信息安全国家重点实验室，北京100049) 摘要：给出了Z／nZ上的z一全向置换的概念(其中z E(Z／nZ) ，讨论了z一全向置换的 存在性、函数性质、计数，并在此基础上，给出了Z／nZ上的一致全向置换的概念，证明了 当 ( ) 时，Z／ z上的一致全向置换不存在。 关键词：完全映射；密码函数；Z一全向置换；一致全向置换 中图分类号：O156：TN918．1 文献标识码：A 置换是一类在密码算法中使用相当广泛的特殊的密码函数，对具有良好密码学性质的置换的研究一直 是密码函数研究中的重要内容。完全映射的概念是由H．B．Mann于1942年为研究正交拉丁方而引入的， 但将完全映射的概念和理论用于密码学，仅始于20世纪90年代密码学界对正形置换的研究和讨论_1]。目 前密码学中的完全映射有两类：一类是正形置换，一类是全向置换[2]。基于正形置换的分组密码设计(例如 SMS4等)、分析的理论和技术已比较完善[3 ]。文献[2]给出了剩余类环Z／nZ上的全向置换的概念，研究 了全向置换的存在性以及作为密码函数时的密码学性质、构造和计数等问题。本文在文献[2]的基础上，进 一 步给出了Z／nZ上z一全向置换概念，研究了z一全向置换的存在性、函数性质、计数，并在此基础上，又进一 步给出了一致全向置换的概念。当z遍历(Z／nZ) 时，Z／nZ上的一致全向置换是否存在是本文讨论的重点。 一 1 本文证明了当 ( ) 时，Z／nZ上的一致全向置换不存在。 1 Z／nZ上的1一全向置换的概念、存在性及性质 首先，在文献[2]的基础上，给出以下定义： 定义1 设P∈S ，称P为Z／nZ上的z一全向置换，若 z E(Z／nZ) 使得{ +P( )l E Z／nZ) 一 Z／nZ，对固定的Z E(Z／nZ) ，记S 一{P l{ +P( )l E Z／nZ)一Z／nZ)，l S l为Z一全向置换 的个数。 关于Z一全向置换的存在性有如下结论： 定理1 V z E(Z／nZ) ，S ≠ 当且仅当 是奇数。 证明 ( )若 Vl E(Z／nZ) ，S ≠ ，则存在P E S ，满足{ +P( )f E Z／nZ)一Z／nZ，于是： 1 ／ 1、 ( +P( ))一丛 (modn) — — x = O 又∑rr-1( +P( ))一(∑n--1 )+(∑n--1 P( ))一 + (m。 ) ， 可知2 l( 一1)，从而 是奇数。 x=0 x=0 x=0 ( )当 是奇数时，V Z E(Z／nZ) ，不妨令P( )一lx，则 4-P( )一2／x，由(2l， )一1，显然{ 4-P( )一2lx l E Z／nZ)一Z／nZ，可知P E S ，故S ≠ 。 收稿日期：2007—05—24 作者简介：刘秀玲(1975一)，女，山东人，硕士研究生，研究方向为信息安全中的代数学。 第4期 刘秀玲，等：剩余类环Z／nZ上的一致全向置换的存在