浅谈一元函数积分学的解题思想与方法.pdfVIP

第16卷第4期 临沧师范高等专科学校学报 V01． 16 No．4 2007年11月 Journal of Lincang Teachers College NOV．2007 浅谈一元函数积分学的解题思想与方法 李子萍 (临沧师范高等专科学校数理系，云南临沧677000) 摘 要：从教学方法的不同角度出发，结合自身的教学经历，阐述了对高等数学教学中一元函数积分方法的 一 些认识和体会。 关键词：函数；积分学；解题思想；解题方法 积分学不论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的篇章之一。积 分运算又是学生较难掌握的一种运算，特别对于非数学专业的学生要熟练积分学知识、灵活运算就更难。这就 需要教师从积分学与微分学的联系中引导学生领悟解题思想与方法，掌握解题技巧。 一 、 简单积分的解题思想与方法 定义：函数，( )的全体原函数F( )+C叫做 ( )的不定积分。 记：』，( )dx=F( )+C，其中F ( )= ( ) 从该定义中引导学生深刻理解积分与微分的联系，从联系中导出求函数f( )的不定积分即先找到它的一 个原函数，因积分与微分互为逆运算，则可从微分公式导出积分公式。 例：求』亡 十 1 分析：o(arctan ) ≥ ···。rctan 为 ≥的一个原函数。 解：』 2 ≥ =2。rct肌 c 然而，利用基本积分公式及性质，只能求出一些简单的积分，对于比较复杂的积分，教师就需要引导学生 设法把它变形为能利用基本积分公式的形式再求出其积分。 二、用凑微分思想与方法求积分 对一积分题，先把原积分与基本积分公式对照，若不能直接套用公式，但与公式比较接近，就可用凑微分 的思想进行恒等变形，使之能用积分公式积出结果。 例1．求』e 分析：被积分函数eh是复合函数，不能直接套用公式』e ，所以就用凑微分 (ydx=Jy)把 中的 与， ( )中的 化相同。 解：』e2xdx=÷』eZd(2x)=÷e +C 例2．求』sin COS xdx 分析：被积分函数sin COS 是乘积关系，且 (~05X) =一sin ，即d(~05X)=一sin xdx，因此可利用凑微 分的思想把被积函数中的sinx“压”到 里的 ，从而使 中的 与f( )中的 化相同，即可用公式求积分。 } 收稿日期：2007—09—12 作者简介：李子萍(1979一)，女，云南lI缶沧人，lI缶沧师范高等专科学校数理系教师，主要从事微分方程和高等教学方向研究 和教学工作。 91 解：』sin COS =一f COS xd c0蹦=一_1 _c∞ +C 例3．求』 l_ l十e 分析：与公式对照，确定不了目标，再比较被积函数的分子、分母，可用加一项、减一项的凑微分法求积 分。 解： =』 =』ldx-lJ = 一 l_d(1+e )= 一1n(1+e )+c 例4．求』 兰==；： 1+ 分析：比较被积函数的分子、分母，分子中自变量 的次数比分母中 的次数低一阶，利用y = ，可把 分子 “压”到 中，即可与被积函数中 次数化相同，再用幂函数的积分公式求积分。 解：』 尹= (1+x3)= (1+x3 d(】 = +c 三、用第二换元思想与方法求积分 对被积函数中含根式的积分，若不能直接套用公式，凑微分也实现不了，可引导学生用第二换元法先将根 式去掉再求积分。 例1．求』 1一√ 分析：该题是形如』，( 百),Ix的积分，先令 百=t，即令 =t，从而把积分变量换成了t，去掉 根式用相应的积分方法求出积分再还原为以 为变量的积分。 解：令 =￡j