[案例分析]二面角.DOC

时间：2014.5 地点：教学楼底楼公开课教室 班级： 执教者：许瑞 课题：二面角(第一课时) 知识技能：二面角的概念，二面角平面角的定义及作法． 过程与方法：通过类比思想，逐步引导学生找到度量二面角的方法． 情感态度价值观：培养学生积极的探究精神． 教学过程： 1.引出： 师：空间中两个不同的平面的位置关系有哪些？ 生：平行和相交。 师：那么在我们学过的与平面有关的三个公理中，有哪一个公理的内容是两个相交平面的公共部分？ 生：公理二：两个平面如果有一个公共点，那么这两个平面的公共部分是过这一点的一条直线。 师：公理二强调的是两个相交平面的共性：公共部分是一条直线。相交平面之间当然也存在着“个性”，这里的“个性”是指“差异性”。 师：例如“把门打开”，“把门关上”，门所在的平面与门框所在的平面的相对位置肯定是不同的。 师：又比如（把书拿手上，做翻动）在书本翻动的每一个瞬间，书本封面所在的平面与书的封底所在平面的相对位置必然发生了改变。这种改变直观上是几何上的变形，但是我们会觉得有一种大小变化。这就使我们思考：能不能用数量关系来刻画每一个瞬间，书的封面与封底所在的两个平面的位置关系？能不能进一步用数的变化来刻画形的变化？ 师：今天我们就从两个相交平面入手来研究它们相对位置的刻画方法。 2.过程： [PPT1] 师：两个相交的平面把空间分成四部分，一般而言我们通常研究两个相交平面在它们交线一侧的部分，大家可以从幻灯片看到：任意一个部分与其余三部分结构都基本相同，所以我们研究其中一个。 [PPT2] 师：这个图形与我们所学过的什么几何图形比较类似？ 生：角。 师：恩，我们把个图形称为二面角。谁能回忆下我们以前所学的平面几何中角的定义： 生：从一点出发的两条射线所组成的图形。 师：对，与角相关的两个概念也很重要：角的顶点与角的边。 师：二面角的这两个面其实都是一个平面被一条直线所分割的两部分中的一个，我们称之为半平面。谁能类比给出二面角的定义？ 生：从一条直线所出发的两个半平面所组成的图形。 师：很好。（其实我这里准备了两个定义，如果一开始同学用旋转给出角的定义，我这里准备也用半平面绕直线旋转给出二面角的定义。） 师：二面角如何用符号表示？角我们使用表示以为顶点为边的角。二面角我们们用“二面角”表示以为棱，为面的二面角。 师：我们也可以在两个平面上各取不再棱上的一点来表示二面角，比如可以表示为：，为什么？ 生：因为线外一点与一直线可以确定以个平面。 师：正确，下面我们在黑板上画几个不同视角的二面角。 （黑板作图，这里我认为应该请学生也一并作画。下图是模拟当时的板书的，有点走样。） [PPT4] 师：学习了二面角的定义，表示方法后我们下面来学习如何度量二面角。 师：我们仍然来回忆下，平面几何中角的度量。 生：用量角器。 师：对，但是未说明本质：先规定一个单位大小的角，然后考虑要度量的角为多少个单位角。 师：也许也可以先规定单位二面角…… 师：二面角本质上是一个空间角，我们学过空间角的度量吗？ 生：异面直线夹角，根据等角定理转化为平面角。 师：用一个平面角，根据某个合乎直觉的定理或公理来度量一个空间角是我们学过异面直线夹角后所知道的事情。（由于提前借用高二班级，他们这个时候还未学线面夹角。） 师：那么也就是我们要在二面角上找到一个平面角，或者画出一个平面角，用平面角的大小来度量二面角的大小。该怎么找？（边提问，边用自制教具演示。） 生：用边所形成的那个角。（学生是指教具的边线所成的角，其实已经找对了，但是比较特殊还无法抓住这个角的位置特点。） 师：这个角现在还受到具所展示的面的具体形状影响，能否具体指出这个角的边，顶点的位置？ 生：顶点在棱上，边与棱垂直。 师：那，这样呢？（演示一个反例） 生：哦，两条边要分别在两个面内。 师：对，只有在面内，随着二面角的改变，这个平面角才能跟着改变。 师：如果你认为二面角的两条边都要在面内且与棱垂直，那么这样的度量结果是否是确定的，也就是说，不同的人选取不同的顶点后，按此做出的不同的平面的角是否大小一致？ 生：一致，因为根据等角定理不同顶点的角的两条边分别平行且它们显然同向，所以他们应 该是相等的。 师：我同意你的讲法，这符合度量的基本原则之一：确定性。但是由等角定理，角的两边只要分别平行就可以了，那么我们能否让我们找的角的两条边与棱成一个等角但不垂直呢？ 生：不行，因为过顶点在一个平面内可以找到两条直线与同一个直线所成像同的锐角。 师：那么如果我规定角的两条边朝同一方向呢？（这里是角的射线在棱上的投影重合而非反向） 生：……这样的话似乎也可以。 师:度量的基本原则之二：操作性。度量的方式必须是便于操作的，显然做垂线