数学分析第三章极限与函数的连续性03.ppt

内容小结 习题 补充题 ③ 等价无穷小量 　　 定义 定理 1 常用的等价无穷小: （三）无穷小量的阶: （四）无穷小量的性质: 问题: 任何两个无穷小都可以比较吗？ 不一定． 例当 时 都是无穷小量， 故当 时, 二、无穷大量的比较 （一）无穷大量 定义 2 （二）无穷大量的比较 ① 高阶无穷大量 　　 ② 同阶无穷大量 　　 ③ 等价无穷大量 　　 定义 定理 2 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 ; 柯西准则 4. 函数极限的 或 定义及应用 5. 函数极限的性质: 保号性定理 与左右极限等价定理 6. 无穷小量与无穷大量的定义 7. 无穷小量与函数极限的关系 8. 无穷小量与无穷大量的关系 9. 无穷小量的比较 设 ? , ? 对同一自变量的变化过程均为无穷小, 且 ? 是 ? 的高阶无穷小 ? 是 ? 的低阶无穷小 ? 是 ? 的同阶无穷小 ? 是 ? 的等价无穷小 ? 是 ? 的 k 阶无穷小 * 一、概念: 定义 3.7 连续, 连续点。 §4 函数的连续性 在 连续 定义 3.7’（单侧连续） 左连续； 右连续。 若 若 定义 3.8 注: 在定义域上连续的函数称为连续函数. 例1 证 二、连续函数的四则运算 设 则 （1） （这里 为常数）; （2） （3） 三、复合函数的连续性 定理 3.14 三、不连续点的类型 不连续点的分类 ① 第一类不连续点 (跳跃间断点) 　　 跃度。 跳跃间断点。 例: 符号函数 1 -1 x y o 是第一类间断点。 ② 第二类间断点 　　 例: 狄利克雷函数 在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点. ③ 可去间断点 　　 例 解： 如上例中, 初等函数的连续性 定理3.15 一切初等函数在其定义域上都是连续的. （1） 三角函数. 反三角函数和对数函数是三角函数和指数函数的反函数，我们将用反函数的连续性定理来证明它们的连续性。为此我们需要闭区间上连续函数的介值定理。为证明它，我们先证明区间套定理。 （2） 指数函数. 设一组实数的闭区间序列 (i) 定义3.10 满足： (ii) 则 构成一个区间套 （区间套定理）设 是一个区间套， 则必存在唯一的实数r,使得r属于所有闭区间 即 且 定理3.16 证明：用单调有界原理证明区间套定理： 定理3.17 连续函数介值定理 若 在 连续， 则存在 ，使得 证明： 用区间套定理。记 用 二等分 ，若 ，则定理证完。否则，若 则取 ；若 则取 用 二等分 ，…… 如此继续下去， 得一区间套 ，满足 根据区间套定理， 知存在 ，有 由 在 r 连续，知 故 定理证完。 反函数的连续性 定理3.18 (反函数存在、连续性定理) （3） 反三角函数. 应用反函数连续性定理，继续证明定理3.15。 反三角函数在其定义域内皆连续. （4） 对数函数. （5） 幂函数. 总结 初等函数的连续性 一切初等函数在其定义域上都是连续的. 注：一般可用函数的连续性用代入法求极限。 §5无穷小量与无穷大量的比较 一、无穷小量的比较 （一）无穷小量 定义 1 （二）无穷小量的比较 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 不可比. 观察各极限 ① 高阶无穷小量 　　 ② 同阶无穷小量 　　 *