数学分析第三十六次课.ppt

的通解 例2:求方程 解: 由常数变易法，设所求方程的特解为: 解方程组得： 积分并取一个原函数得： 四、小结 主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； 降阶法与常数变易法； 补充内容 可观察出一个特解 作业 P380 1，2，3，4, 5, 6. 练 习 题 练习题答案 北京理工大学 第一学期 《工科数学分析》 第四节 线性微分方程解的结构 一、概念的引入 解 受力分析 物体自由振动的微分方程 强迫振动的方程 串联电路的振荡方程 二阶线性微分方程 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 二、二阶线性微分方程解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: 问题: 注:齐次线性方程的解符合叠加原理. 例如 线性无关 线性相关 例如 定义 2.一阶线性非齐次方程的解的结构: 一阶线性非齐次微分方程 对应的齐次方程的通解 非齐次方程的一个特解（与 c = 0 对应的特解） 结论：一阶线性非齐次微分方程的通解等于它的一个 特解与对应的齐次方程的通解之和 3.二阶非齐次线性方程的解的结构: 解的叠加原理 定理 4 通常称为非齐次线性微分方程的解的叠加原理 定理 4 同样可以推广到 n 阶非齐次方程的情形 (*) (**) 三、二阶线性微分方程的解法 对一般的二阶线性微分方程的求解是困难的，没有一般的解法。 下面介绍的是已知方程的某些解的条件下如何求得其通解。 --- 降阶法与常数变易法 已知二阶线性齐次方程的一个非零特解， 求其通解 是（1）的一个已知的非零特解 作变量替换： 代入（1）得： 注意: 1. 降阶法----刘维尔公式 ----二阶齐次方程的通解 是（1）的一个已知的非零特解 作变量替换： 作变量替换： 分离变量得: 两边积分得: 是（1）的一个已知的非零特解 作变量替换： 作变量替换： 刘维尔公式 是方程 例1:设 的一个解,试求方程的通解 解: 令 代入方程并化简得 作变量替换： 并将 代入化简得 两边积分得: 是方程 例1:设 的一个解,试求方程的通解 解: 令 作变量替换： 两边积分得: 所以 2.非齐次线性方程通解求法 ------常数变易法 已知相对应的线性齐次方程的通解，求二阶线性非齐次方程的特解 常数变易法 如果对应的齐次线性方程 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： 2. 常数变易法----求非齐次线性方程的特解 有通解: 补充条件: 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： 补充条件: 所以 代入（1）并化简得 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： 代入（1）并化简得 解之得： 则由常数变易法可设（1）有如下形式的特解： 若能求得（2）的一个特解 则可按以下步骤求得（1）的通解： （2）由常数变易法求出（1）的一个特解： 从而得到齐次方程（2）的通解： （1）由刘维尔公式求出（2）的另一个特解 ， （3）写出方程（1）的通解 的通解 例2:求方程 解: 由刘维尔公式得 齐次方程（2）的通解为： 由常数变易法，设所求方程的特解为: 由 得