数学分析第三章极限与函数的连续性01.ppt

第三章 极限与函数的连续性 §2 数列的极限 定理3.6（极限不等式） 定理3.7（唯一性） 定理3.8. 夹迫性 证: 由条件 (2) , 当 时, 当 时, 令 则当 时, 有 故 例12 设 其中 求证 证明 由于 而 由定理3.8即得 例13 证明 证法1 当 时， 令 其中 这时 因此 故 已知 由定理3.8得 * 一 割圆术： 刘徽（公元 3 世纪，魏晋时代，九章算术）利用圆内接正多边形来计算圆的面积，把正n边形的面积记为 Sn 当 n 越来越大时， Sn 越接近于圆的面积。 即：求圆的面积就要看当 n无限增大时，Sn 的变化趋势这就是数列的极限。 §1 极限问题的提出 如图所示 , 可知 二 瞬时速度 以前（中学）一般讨论平均速度：需讨论一个运动的物体在某一时刻 t 的速度（设为瞬时速度） 的变化趋势， 思想：时间段 [t, t + h]上的平均速度 ， 让时间段越来越小， 就越来越接近于 v 让 h 无限变小，研究 这就是函数的极限。 定义域为正整数的函数称为数列， 记为{xn} 即有 xn 是数列的第 n 项 ，也叫做数列的通项。 数列也可表示为 定义3.1 写出来就是 写出来就是 1，4，9，16，…… ，写出来就是 0，2，0，2，…… 关心的是：当无限增大时， 的变化趋势。 写出来就是 写出来就是 例如 1、极限的概念 = 容易看出，当 无限增大时， 无限接近于0，因而 的极限为0。 = 当 的极限也是 0。 无限增大时， 它的值时而为正， 时而为负， 但总的趋势仍然是 无限的接近于0这个数， 因此 例1 例2 无限增大时， 越变越小，无限的接近于1，因此 的极限是1。 = 即 当 例3 = 并不无限接近一个常数，因此说它没有极限。 当 无限增大时， 也无限增大， 一个常数，因此也没有极限。 它在0和2两个数中不停的跳动， 前三个数列的特点：当 无限增大时， 的值无限地接近某个数 . 例4，例5中的数列没有极限。 “当 无限增大时， 无限接近于 ”是什么意思? 例5 例4 也不是无限地接近 以数列 为例：当 无限增大时， 无限接近于0 与0可以任意接近，要多近有多近 可以任意小，要多小有多小 总能小于 任给一个正数 ，无论多么小， 只要n足够大 (充分大) 无限用任意性 来反映 分别对 (只要n 10) , 0.001 (只要n 1000) …… 尽管 “很小”，但毕竟是确定的数。要描述 可以任意小，必须对任意的（无论多么小）的正数都能做到， 才行。这也能够做到。从 可知只要 即可。也就是说 取 ，当 时， 即从第 项以后的所有项都满足 例： 都可以做到. 综上：“当 无限增大时， 无限接近于0”的实质是：对任意给定的 （无论它多么小），总存在一个正整数 （例取 ）， 时， . 将上面的语言抽象化，有下面定义： 正数 当 是一数列， 是一实数，若对于任意给定的正数 , 存在正整数 ，当 时，都有 , 则称 为数列 收敛，且收敛于 , 记为 或 的极限。或数列 定义3.2 没有极限的数列称为发散数列。 的极限为 ”的几何意义 “数列 （不一定去找满足要求的最小的 ） 几点说明： 1.使用邻域概念：开区间 称为 的 邻域，记为 对任意给定的 ，存在 ，当 时， 定义中 必须具有任意性：这样才能保证 与 但为表明渐近过程的不同阶段， 又具有相对固定性。即 是通过无限多个相对固定性表现出来的。 的无限接近， 的任意性 这就是任意与固定的辨证关系。 的某个函数也可有同样作用。 3. 2. 定义中，自然数 不是唯一的。若存在 满足要求， 任一自然数都能起到 的作用， 则比 大的 所以强调自然数的存在性 4. 下面看几个例子： 证明 证明 ： 对任意给定的 ，要使 ，只要 . 取 , 则当 的极限为0 . 时，有 故 例6 ，证明 证法1 ：若 ，结论显然成立。故不妨设 对任意给定的 ，不妨设 ，要使 ，即 只要 ，令 ，则当 时，有 . 这就证明了 设 证法2： 由 知存在 ，使得 ，从而 对任给的 ，要使 ，只要放大后的 . 因此取 ，则当 时，有 这就证明了 . 不妨设 例7 极限为0的数列称为无穷小量。 下面给出非常重要的定义： 的极限为 的充要条件是： 是无穷小量。 命题3.1 定义3.3 值得注意的是,无穷小量是一数列,而不是一个很小的常数. 由极限的定义显然有, 以a为极限等价于数列