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支持向量机 support vector machine，SVM Outline SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机 SVM的理论基础 传统的统计模式识别方法只有在样本趋向无穷大时，其性能才有理论的保证。统计学习理论（STL）研究有限样本情况下的机器学习问题。SVM的理论基础就是统计学习理论。 传统的统计模式识别方法在进行机器学习时，强调经验风险最小化。而单纯的经验风险最小化会产生“过学习问题”，其推广能力较差。 推广能力是指: 将学习机器(即预测函数,或称学习函数、学习模型)对未来输出进行正确预测的能力。 过学习问题 “过学习问题”：某些情况下，当训练误差过小反而会导致推广能力的下降。 例如：对一组训练样本(x,y),x分布在实数范围内，y取值在[0，1]之间。无论这些样本是由什么模型产生的，我们总可以用y=sin(w*x)去拟合，使得训练误差为0. SVM 由于SVM 的求解最后转化成二次规划问题的求解，因此SVM 的解是全局唯一的最优解 SVM在解决小样本、非线性及高维模式识别问题中表现出许多特有的优势，并能够推广应用到函数拟合等其他机器学习问题中 Joachims 最近采用SVM在Reuters-21578来进行文本分类，并声称它比当前发表的其他方法都好 Outline SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机 线性判别函数和判别面 一个线性判别函数(discriminant function)是指由x的各个分量的线性组合而成的函数 两类情况:对于两类问题的决策规则为 如果g(x)0，则判定x属于C1， 如果g(x)0，则判定x属于C2， 如果g(x)=0，则可以将x任意 分到某一类或者拒绝判定。 线性判别函数 下图表示一个简单的线性分类器，具有d个输入的单元，每个对应一个输入向量在各维上的分量值。该图类似于一个神经元。 超平面 方程g(x)=0定义了一个判定面，它把归类于C1的点与归类于C2的点分开来。 当g(x)是线性函数时，这个平面被称为“超平面”(hyperplane)。 当x1和x2都在判定面上时， 这表明w和超平面上任意向量正交， 并称w为超平面的法向量。 注意到：x1-x2表示 超平面上的一个向量 判别函数g(x)是特征空间中某点x到超平面的距离的一种代数度量 ?从下图容易看出 上式也可以表示为： r= g(x)/||w||。当x=0时，表示原点到超平面的距离，r0= g(0)/||w||=w0/||w||，标示在上图中。 多类的情况 利用线性判别函数设计多类分类器有多种方法。例如 可以把k类问题转化为k个两类问题，其中第i 个问题是用线性判别函数把属于Ci类与不属于Ci类的点分开。 更复杂一点的方法是用k(k-1)/2个线性判别函数，把样本分为k个类别，每个线性判别函数只对其中的两个类别分类。 广义线性判别函数 在一维空间中，没有任何一个线性函数能解决下述划分问题（黑红各代表一类数据），可见线性判别函数有一定的局限性。 广义线性判别函数 如果建立一个二次判别函数g(x)=(x-a)(x-b)，则可以很好的解决上述分类问题。 决策规则仍是：如果g(x)0，则判定x属于C1，如果g(x)0，则判定x属于C2，如果g(x)=0，则可以将x任意分到某一类或者拒绝判定。 广义线性判别函数 广义线性判别函数 设计线性分类器 Outline SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机 最优分类面 SVM 是从线性可分情况下的最优分类面发展而来的, 基本思想可用图2的两维情况说明. 最优分类面 如何求最优分类面 最优分类面 Outline SVM的理论基础 线性判别函数和判别面 最优分类面 支持向量机 支持向量机 上节所得到的最优分类函数为： 该式只包含待分类样本与训练样本中的支持向量的内积 运算，可见,要解决一个特征空间中的最优线性分类问题,我们只需要知道这个空间中的内积运算即可。 ?对非线性问题, 可以通过非线性变换转化为某个高维空间中的线性问题, 在变换空间求最优分类面. 这种变换可能比较复杂, 因此这种思路在一般情况下不易实现. 支持向量机 核函数的选择 SVM方法的特点 ①?非线性映射是SVM方法的理论基础,SVM利用内积核函数代替向高维空间的非线性映射; ②?对特征空间划分的最优超平面是SVM的目标,最大化分类边际的思想是SVM方法的核心; ③?支持向量是SVM的训练结果,在SVM分类决策中起决定作用的是支持向量。 ?SVM 是一种有坚实理论基础的新颖的小样本学习方法。它基本上不涉及概率测度及大数定律等,因此不同于现有的统计方法。从本