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数学建模培训 主讲教师：任驰远 建模一般步骤及范例 群体思维方法 平等地位、相互尊重、充分交流 杜绝武断评价 不要回避责任 不要对交流失去信心 发散性思维方法 借助于一系列问题来展开思路 这个问题与什么问题相似？ 如果将问题分解成两个或几个部分会怎样？ 极限情形（或理想状态）如何？ 综合问题的条件可得到什么结果？ 要实现问题的目标需要什么条件？ 借助于下意识的联想（灵感）来展开思路 抓住问题的个别条件或关键词展开联想或猜想 综合所得到的联想和猜想，得到一些结论 进一步思考找出新思路和方法 建模一般思维方法 数学建模的一般步骤 问 题 分 析 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个 比较清晰 的‘问题’ 模 型 假 设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中 建 立 模 型 用数学的语言、符号描述问题 发挥想象力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 模型 求解 各种数学方法、软件和计算机技术. 如结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析. 模型 分析 模型 检验 与实际现象、数据比较， 检验模型的合理性、适用性. 模型应用 数学建模的一般步骤 1、问题分析 问题的前期分析 包括： 明确问题、分析条件、分析数据 为什么问题前期分析至关重要？ 数学建模问题往往含混不清,可能的原因有: * 提出问题的人未能清楚地表述问题 . * 不同领域的人交流出现故障. * 各领域的应用者提出问题时，未给出恰当 的条件. * 未能准确理解问题. 对问题进行充分的前期分析以前,过早着手决问题,往往会陷入一些意想不到的陷阱,或者偏离解决问题的方向. (1) 明确问题 例1 一家大商业印刷公司的经理就关于应该雇 多少推销员的问题征询你的意见. “究竟需要做什么？” 为明确问题 ,可向有关人员询问如下问题： 1. 公司的规模有多大？ 2. 该公司的推销员的工作方式？ 遇到一个新问题时,首先应问自己 着眼点是对各类推销队伍的工作效果进行分析 原问题“推销员人数问题” 明确为： （1）不同规模的销售队伍会有什么影响； （2）怎样从他们的销售工作中获取最大的收益. 明确了工作的目标, 即设置好问题的目标态. (2) 条件及数据分析 设置好问题的目标态，着手工作还需要做 以下工作： 1. 收集必要的资料和数据。 2. 分析现有的数据和条件，使问题进一步 明确化。 怎样收集数据和资料？ 可在各类图书馆、网上查阅、向专家询问、 通过试验来得到。 收集数据应列入工作计划，并注意： 1. 向有关人员调查情况应事先设计好问题； 2. 事先确定所需资料清单、资料来源、 收集方式。 有条理的收集计划可以为后期的工作 创造良好的条件 对收集到的或者现有的资料和数据要做 仔细分析，使问题进一步明确。 5. 哪些条件是可以变动的？等等 2. 数据来源是否可靠？ 3. 所给条件有什么意义？ 4. 哪些条件是本质的？ 还应该分析 1. 从数据中可得到什么信息？ 建模过程中的几个要点 模型的整体设计 合理的假设 建立数学表达式 建立数学结构 时刻 牢记 建模 目的 2、建立模型 完整的数学模型应该同时描述出 有关因素之间的数量关系和结构关系。 应清楚变量、变量之间的数学表达式在整个 模型中的地位和作用. 例1 考虑一个简化的城镇供水系统,水是由水库经由管道流入水箱,再由水箱向各用户供水. 问题：怎样才能有效地保障各用户的正常用水？ (1)模型的整体设计 按下述步骤对模型进行整体设计 1. 分析系统的组成部分（研究对象、实体） 相关实体有：水库,管道,水箱和用户. * 实体间的结构关系可表示如下： 水库 管道 水箱 用户 * 以上各实体都可能是我们的研究对象. * 应分析相对于各个实体的因素对供水的影响 2. 分析各实体之间的关系,找出联系各实体 的变量. 实体之间的作用关系图 各实体之间的关系 管道与水箱：管道的水流量 水库与管道：水库的水深 水箱与用户：出水口的水流量 （或有效水深） 用户：总用水量 3. 根据各实体的相互关系，提炼整理需考虑 的变量以及变量之的关系表达式. 假设“水库能保证管道所需的水流量”， 现需考虑t 时刻以下变量： * 总需水量D(t)； * 水箱的有效储水量Q(t)及 QM ； 或流出水流量F（t）及 FM ； * 管道能提供的供水量G(t)及GM. 分析各变量的特征： * D(t)不可控，但可以对其进行描述； * G(t)是可控变量。 4.