数学建模讲座——数学建模漫谈.ppt

数学模型的分类 分类标准 具体类别 对某个实际问题了解的深入程度 白箱模型、灰箱模型、黑箱模型 模型中变量的特征 连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等 建模中所用的数学方法 初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等 研究课题的实际范畴 人口模型、生 态系统模型 、交通 流模型、经 济模型、 基因模型等 1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 ——即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。 在难以得出解析解时，也应当借助 计算机 求出数值解。 数学建模的一般步骤 实体信息(数据) 假设 建模 求解 验证 应用 用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20 y =5 求解 初等代数中的数学模型 ——“航行问题” 一些简单实例 航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（x=20, y=5）； 回答原问题（船速每小时20千米/小时）。 崖高的估算 假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。 我有一只具有跑 表功能的计算器。 方法一 假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式 来计算。例如， 设t=4秒，g=9.81米/秒2，则可求得h≈78.5米。 我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。 除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属空气阻力。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数K为常数，因而，由牛顿第二定律可得： 令k=K/m，解得 代入初始条件 v(0)=0，得c=－g/k，故有 再积分一次，得： 若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。 听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间 进一步深入考虑 不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。 ① 多测几次，取平均值 再一步深入考虑 代入初始条 件h(0)=0，得到计算山崖高度的公式： 将e-kt用泰勒公式展开并 令k→ 0+ ，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。 还应考虑回声传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为t1，声音传回来的时间记 为t2，还得解一个方程组： 这一方程组是非线性的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理 相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次 h，令t2=h/340，校正t，求石块下落时间 t1≈t-t2将t1代入式①再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若h=69.9米，则 t2≈0.21秒，故 t1≈3.69秒，求得 h≈62.3米。 数学建模示例 椅子能在“不平”的地面上放稳吗 问题分析 模型假设 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。 模型构成 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性 用? (对角线与 x 轴的夹角)表示椅子位置 四只脚着地 距离是?的函数 四个距离(四只脚) A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (?) B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (?) 两个距离 x B A D C O D′ C ′ B ′ A ′ ? 椅脚与地面距离为零 正方形ABCD 绕O点旋转 正方形对称性 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 f(? ) , g (? )是连续数 对任意?, f (? ), g (? )至少一个为0 数学问题 已知： f (? ) , g (? )是连续函数 ; 对任意?， f (? ) ? g (? )=0 ;