数学必修分类计数原理和分步计数原理.ppt

* ※1.1分类计数原理和分步 计数原理(2) * 苏教高中数学选修2-3 学习目标 (1)准确理解分类和分步计数原理,弄清两者的区别; (2)会用分类和分步计数原理解决一些简单的问题; 复习回顾 1、什么是分类计数原理？ 分类计数原理 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有 种不同方法，在第2类办法中有 种不同方法，……在第n类办法中有 种不同方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 2、什么是分步计数原理？ 分步计数原理 完成一件事，需要分n个步骤，做第1步有 种不同方法，做第2步有 种不同方法，……做第n步有 种不同方法，那么完成这件事共有 种不同的方法. 3、分类计数原理与分步计数原理有何作用？ 统计完成一件事有多少种不同的方法：先看完成这件事情的一种方法是怎样的，是要分几类来完成，还是可以分几步来完成，从而判断是用分类计数原理还是用分步计数原理. 例题讲解 示例1 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上白班和晚班，有多少种不同的选法？ 解：要排好一个白班和晚班须分两个步骤来完成:第1步是从甲、乙、丙3人中选1人上白班,有3种选法:第2步是选1人上晚班,但这时只能从剩下的2人中选1人,有2种方法,根据分步计数原理,不同的选法种数是：3×2=6. 具体排法 白班 晚班 白班 晚班 甲 乙 甲 丙 乙 甲 丙 乙 丙 甲 乙 丙 示例2 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？ 分析1:按个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是： 1个,2个,3个,4个,5个,6个,7 个,8 个.则根据加法原理共有 1+2+3+4+5+6+7+ 8 =36 (个). 分析2:按十位数字是1,2,3,4,5,6,7,8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是： 8个,7个,6个,5个,4个,3个,2个,1个. 则根据加法原理共有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 (个). 变式：从1到200的自然数中,各个 数位上都不含8的自然数有多少个？ 分三类:第一类：一位数中除8以外的数符 合要求，共 个 8 第二类：两位数中十位、个位都 不含8的数,有 个. 9×8=72 9×9+1=82 第三类:三位数中符合要求的数,共有 个. 则满足条件的总的自然数有: N=8+9×8+9×9+1=162个. 示例3 某艺术组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中有7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴与会小号的各1人，有多少种不同的选法？ 解：由题意可知，艺术组9人中，只会钢琴的有6人，只会小号的有2人，既会钢琴又会小号的有1人(可把该人称为多面手)．因此，选出会钢琴与会小号的各1人可分两类： 第一类：不选多面手，分2步：第一步从只会钢琴的6人中选1人，有6种选法；第二步从只会小号的2人中选1人，有2种选法，因此，共有6×2=12(种). 第二类：选多面手，分2步：第一步从多面手中选，有1种选法；第二步从非多面手中选，有8种选法，因此，共有1×8=8(种). 故共有12+8=20(种). 注：先分类，后分步. 特殊元素优先考虑法. 示例4 用红、黄、蓝不同颜色旗各3面，每次升一面、两面、三面在某一旗杆上纵向排列，共可以组成多少种不同的信号？ 解：不同的信号可分为三类： 第一类：升一面旗，又可分三类，有1+1+1=3种 第二类：升两面旗，可分两步，有3×3=9种 第三类：升三面旗，可分三步，有3×3×3=27种 故共有 3+9+27=39(种) 评注：先分类，再在每一类中分类或分步. 示例5 如图，要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？ （染色问题） 解: 按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成, 第一步, m1 = 3 种, 第二步, m2 = 2 种, 第三步, m3 = 1 种, 第四步, m4 = 1 种, 根据乘法原理, 得到不同的涂