数学第二轮专题复习第一部分专题四特殊与一般的思想方法.ppt

专题四 特殊与一般的思想方法 1.由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.数学研究也不例外，这种由特殊到一般，由一般到特殊的研究数学问题的基本认识过 程就是数学研究中特殊与一般的思想. 2. 由特殊到一般的思想的运用水平，能反映出考生的数学素养和一般能力，所以考查特殊与一般的思想在高考中占有重要位置.在高考中，有意设计一些能集中体现特殊与一般思想的试题，突出体现了特殊化方法的意义与作用.如通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊位置，利用特殊值、特殊方程等方法解决一般问题、抽象问题、运动变化问题、不确定问题等等. ［点评］ 本题考查归纳、猜想思想方法.要求考生结合试题领悟“特殊与一般”的思想，首先通过特例探索，发现规律，然后利用这一规律来解题. 对于求递推关系给出的数列某一项的问题，常见解法一是直接求通项再用通项来求某一项，二是直接将数列按顺序写出，三是写出部分项发现规律用规律得出结论. 2.（2007·江苏常州市）如果函数y＝sin2x+acos2x的图象关于 直线x=－ 对称，那么a＝ . 解法2：因为函数f(x)＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ 对称，所以f (x)=f (－ －x)，取 x＝0,则f(０)=f(－ ) 即有a＝－１ 解法3：函数y＝sin2x+acos2x的图象关于直线x=－ 对称， 则函数在x=－ 处取得极值， 又y′=2cos2x－2asin2x 所以y′|x=－ =2cos2(－ )－2asin2(－ )＝０ 得a＝－１ 3.（2007·湖南雅礼三月模拟）某地区的一种特色水果上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,现有三种价格模拟函数.①f(x)=p·qx；②f(x)=px2+qx+1；③f(x)=x(x－q)2+p.（以上三式中p,q均为常数，且q1）. (Ⅰ)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？ (Ⅱ)若f(0)=4,f(2)=6，求出所选函数f(x)的解析式（注：函数的定义域是［0,5］，其中x=0表示4月1日，x=1表示5月1日，…，以此类推）； （Ⅲ）为保证果农的收益，打算在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该果品在哪几个月份内价格下跌. ［解析］ (Ⅰ)应选f(x)=x(x－q)2+p. 因为①f(x)=p·qx是单调函数； ②f(x)=px2+qx+1的图象不具有先升再降后升特征； ③f(x)=x(x－q)2+p中,f ′(x)=3x2－4qx+q2, 令f ′(x)=0，得x=q,x= , f (x)有两个零点.可以出现两个 递增区间和一个递减区间. (Ⅱ) 由f(0)=4,f(2)=6得： 解之得 （其中q=1舍去）. ∴函数f(x)=x(x－3)2+4，即f(x)=x3－6x2 + 9x + 4（0≤x≤5） ４.（2007·河北省唐山市） 设函数fn(x)=1－x+ － +…－ , n∈N* （Ⅰ）研究函数f2(x)的单调性； （Ⅱ）判断fn(x)=0的实数解的个数，并加以证明. ５.（2007·全国第二次大联考)已知函数y=f (x)对于任意实数 x，y都有f (x+y) =f (x)+f(y)+2xy . (1)求f(0)的值； (2) 若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值，猜想f(n)的表达式 并用数学归纳法证明你的结论(n∈N*)； (3) 若f(1)≥1，求证：f ( )0 (n∈N*). (2) ∵f (1)=1，∴f(2)=2f(1)+2=4， f(3)=f(2)+f(1)+4=9， f(4)=f(3)+f(1)+6=16， 猜想：f(n)=n2 (n∈N*)，下面用数学归纳法证明： 当n=1时，显然成立. 假设n=k(k∈N*)时成立，则有f(k)=k2 当n=