数学选修推理与证明.ppt

2.数学归纳法解题步骤 (1)当n取第一个值n0(例如n0=1)时，证明命题成立； (2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立，并证明当n=k+1时，命题也成立.于是对一切n≥n0，n∈N*,命题都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的. 【例5】在数列{an},{bn}中，a1=2,b1=4,且an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列(n∈N*). (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{an},{bn}的通项公式，并证明你的结论； (2)证明： 【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1, =bnbn+1. 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明：①当n=1时，由以上知结论成立. ②假设当n=k(k≥1)时，结论成立， 即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时， ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2), bk+1= =(k+2)2.所以当n=k+1时，结论也成立. 由①②可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立. (2)当n=1时， 当n≥2时，由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)＞2(n+1)n. 故 综上，原不等式成立. 【例6】已知等比数列{an}的前n项和为Sn,已知对任意的n∈N*, 点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b＞0且b≠1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(n∈N*)，证明对任意的n∈N*, 不等式 成立. 第二章 阶段复习课 一、合情推理与演绎推理 1.归纳推理和类比推理 类比推理是由特殊到特殊的推理. 归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理. 特 征 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳). 定 义 类比推理 归纳推理 2.合情推理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理. (2)对合情推理的认识: 归纳推理 合情推理 类比推理 3.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理(逻辑推理). (2)特点：由一般到特殊的推理. (3)演绎推理是数学中证明的基本推理形式. 演绎推理的一般模式——“三段论”： ①大前提：已知的一般原理(M是P); ②小前提：所研究的特殊情况(S是M); ③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P). 二、综合法和分析法 1.综合法 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．又叫顺推证法或由因导果法. (2)其推理方式可用框图表示为： 其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，Q1,Q2,…表示中间结论． 综合法常用的表达格式为： ∵P，∴Q1;又∵Q1，∴Q2;…;又∵Qn，∴Q. 2.分析法 (1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.又叫逆推证法或执果索因法. (2)其推理方式可用框图表示为： 其中Q表示要证明的结论． 【辨析】 综合法与分析法的比较 　　综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点.分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简便地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程. 三、反证法 1.反证法 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法. 2.反证法的证明过程包括以下三个步骤 四、数学归