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力 学 数学预备知识A 微积分初步 定积分的几何意义 本章结束 The End！ 越短，把各小段里的运动看成匀速运动也就越接近实际情况，故应对求和取 时的极限，即 几何意义 到 区间内 曲线下的面积 变力的功 考虑力是位置的函数，即 物体由 运动到 的过程中，力 对它所做的功为 要精确求解，就需要对求和取 时的极限， 即 几何意义 到 区间内 曲线下的面积 定积分 给定一个函数 ，用 把自变量 在 区间内的数值分成 小段，设每小段的大小为 ， 若当 时 的极限存在，则将该极限称为函数 在区间 内对 的定积分，记作 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值 各部分面积的代数和 如果被积函数 是某个函数 的导数，即 则在 到 区间内 对 的定积分等于 在这区间内的增量，即 不定积分 原函数 如果 是 的导数，则称 是 的逆导数或原函数 求 的定积分就可以归结为求它的逆导数或原函数。 不定积分 一般说来，在函数 的某个逆导数 上加一任意常量 ，仍旧是 的逆导数。通常把一个函数 的逆导数的通式 称为它的不定积分，并记作 ， 即 不定积分代表一组函数。 几个有关积分运算的定理 定理一? 如果 ( 是常量)，则 定理二? 如果 ，则 定理三? 如果 ，则 数学预备知识 @ 力学 2011 2011年秋季学期 A.1 函数及其图形 数学预备知识 @ 力学 2011 数学预备知识A 微积分初步 A.2 导数 数学预备知识 @ 力学 2011 数学预备知识A 微积分初步 A.3 导数的运算 数学预备知识 @ 力学 2011 数学预备知识A 微积分初步 A.4 微分和函数的幂级数展开 数学预备知识 @ 力学 2011 数学预备知识A 微积分初步 A.5 积分 数学预备知识 @ 力学 2011 数学预备知识A 微积分初步 本部分内容可参阅 赵凯华、罗蔚茵，《新概念物理教程 力学》“ 附录A 微积分初步”，高教社，2004年7月第2版 漆安慎、杜婵英，《普通物理教程 力学》“附录 数学知识”，高教社，2005年6月第2版 函数 变量和常量 或 有两个变量 和 ，如果每当变量 取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定 的对应值，则称 是 的函数，记作 为自变量， 为因变量， 为函数记号。 例如 绝对常量：在一切问题中数值都是确定不变的量，如 任意常量：数值需要在具体问题中具体给定的量，如 函数的图形 在物理学中经常用二（三）维曲线来表示两（三）个变量之间的函数关系，以直观地了解一个函数的特征。 物理学中函数的实例 匀速直线运动公式 匀加速直线运动公式 每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系 物理学中函数的实例 玻意耳定律 点电荷的电场 极限 无穷小量的性质 限个无穷小量的和是无穷小量； 有限量与无穷小量的积是无穷小量。 在自变量 与某一定值 的差为无穷小量时， 函数 与数 的差也为无穷小量，则 是 在 趋于 时的极限。 例如 一个有限的函数与常数积的极限，等于该函数极限与常数之积 有限个极限的函数的积（商）的极限，等于它们的极限的积（商） 有限个有极限的函数的和（差）的极限等于它们极限的和（差） 极限的运算法则 物理学中的几个实例 直线运动的瞬时速度 设描述质点运动位置的函数为 则从 时刻到 时刻间的平均速度为 例如：匀加速直线运动 例如：匀加速直线运动 在