数理方程—横向纵向振动问题、波动方程.ppt

#/16 */16 弦的横向振动问题 细杆的纵向振动问题 波动方程的定解条件 数学物理方程 ? ? ? ? 物理、力学、电磁学、自动化工程、生物工程等领域中,研究某物理量和其它物理量之间的变化关系。 物理学中的定律，往往只给出这些函数和它们的各 阶导数与自变量的关系。 牛顿第二定律: F = m a a—物体加速度;F—合外力;m—物体质量 虎克定律: (1) f = –k x; f —弹力;k—弹性系数; x—弹簧伸长 (2) p = Y ux; Y—杨氏模量; ux—弹性体相对伸长 单摆的数学模型: 一阶偏导数: 几何意义——曲线的切线斜率 二元函数: u = u(x, t ) 几何意义——曲线曲率近似 二阶偏导数: 二阶偏导数 物理意义——物体运动加速度 弦的横向振动问题 一根均匀柔软的细弦线,一端固定在坐标原点,另一端 沿 x 轴拉紧固定在 x 轴上的 L 处，受到扰动，开 始沿 x 轴(平衡位置)作微小横振动(细弦线上各 点运动方向垂直于x 轴).试建立细弦线上任意点位移 函数 u(x,t) 所满足的规律 . u x T1 T2 O x x+dx ρgds ds 设细弦上各点线密度为ρ, 细弦上质点之间相互作用力为张力T(x，t) 水平合力为零 ? T2 cos ?2－T1 cos ?1 = 0 cos ?1≈cos ?2 ≈1 ? T2≈T1≈T 铅直合力: F=m a T( sin ?2－sin ?1) = ρds utt sin ?1 ≈tan ?1 ? T( tan ?2－tan ?1) = ρds utt ds≈dx ? 其中 一维波动方程: utt = a2 uxx 考虑有恒外力密度f(x，t)作用时，可以得到一维波动方程的非齐次形式 utt = a2 uxx + f(x, t) T[ ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ρds utt ? utt= a2 uxx #/16 细杆的纵向振动问题 细杆纵向振动时，细杆各点伸缩，质点位移 u(x，t) 改变，质点位移相对伸长为 ux，截面应力 P = Y ux Y 是杨氏模量。截面的张力 T = SP。 u(x,t) u(x+dx,t) x x+dx L O 均匀细杆长为L，线密度为?，杨氏模量为Y，杆的 一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动 (沿x轴方向的振动)杆上质点位移函数 u(x，t) T(x, t) = SY ux(x, t), T(x+dx, t) = SY ux(x+dx, t) ? SY [ ux(x+dx, t) – ux(x, t) ] ?用牛顿第二定律 SY [ux(x+dx，t)－ux(x，t)] = ? S dxutt 令 a2 = Y/?。化简，得 utt = a2 uxx 或 ? 由 弦振动问题定解条件 细弦一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.受到垂直于 x 轴方向的扰动,作微小横振动。初始条件包括初始位移和初始速度 u(x,t)|x=0=0, u(x,t)|x=L=0 或: u(0,t)=0, u(L,t)=0 初始条件: u(x,t)|t=0= ? (x), ut(x,t)|t=0=g(x) 或: u(x,0)= ? (x) , ut(x,0)=g(x) 边界条件表示端点状态,初始条件表示历史状态 O L L/2 h x u 波动方程定解条件I 波动方程定解条件II 细弦的线密度为?,一端固定在坐标原点,另一端固定在 x 轴上的 L 处.弦的中点受到垂直于 x 轴方向的冲量 I 的作用,作微小横振动。函数 u(x,t) 表示位移