方阵的特征值与特征向量.ppt

12 第四章 矩阵的特征值 第一节 矩阵的特征值与特征向量 第二节 相似矩阵与对角化 第三节 实对称矩阵的特征值与特征向量 第一节 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的概念 例1 例2 例3 例4 例5 二、特征值和特征向量的性质 例6 三、小结 * * 特征值与特征向量的概念 特征值与特征向量的性质 定义 成立, (1) 设A为n阶矩阵,如果存在数λ和n维非 零向量x,使 Ax= λx 那么称数λ为矩阵A的特征值,而称向量x为 矩阵A属于特征值λ的特征向量. 方阵的特征值与特征向量 说明 1. 特征向量x≠0,特征向量是方阵A属于特征值λ 2. n阶方阵A的特征值是齐次线性方程组 (A-λE)x=0有非零解的λ值,即满足方程| A-λE|=0 的λ值均是矩阵A的特征值. 的向量. 方阵的特征值与特征向量 的特征方程. 是以λ为未知数 的一元n次方程, 称| A-λE|=0为A 记f(λ)=| A-λE|,它是λ 的n次多项式, 称其为方阵 A特征多项式 方阵的特征值与特征向量 4. n阶方阵 A=(aij)的特征值λ1, λ2,…, λn又称矩阵A 的特征根.若λ0是特征方程的k重特征根, 则称λ 方阵A的k重特征根 特征值与特征向量的求法 1.求方阵 A=(aij)的特征方程| A-λE|=0的值λ1, λ2,…,λn 2.对于方阵 A=(aij)的特征值λ0,求属于该特征值 的特征向量 方阵的特征值与特征向量 解 A的特征多项式 得A的特征值 λ1=-2, λ2=4 当λ1=-2时,有(A+2E)x=0,即 求A的特征值与特征向量.其中 方阵的特征值与特征向量 解之得, 5x1=-x2. 矩阵A属于λ1=-2的全部特征向量 k1(1,-5)T 于是相应的特征向量可取p1=(1,-5)T 当λ2=4时,有(A-4E)x=0,即 解之得, x1=x2. 矩阵A属于λ2=4的全部特征向量 k2(1,1)T 于是相应的特征向量可取p2=(1,1)T 方阵的特征值与特征向量 解 A的特征多项式 得A的特征值 λ1=2, λ2= λ3=1 当λ1=2时,有(A-2E)x=0 求A的特征值与特征向量.其中 方阵的特征值与特征向量 解之得, x1=x2=0, x3为任意实数 矩阵A属于λ1=2的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1=(0,0,1)T k1 p1 = k1(0,0,1)T k1 ≠0为任意实数 方阵的特征值与特征向量 解之得, x1=-x3, x2=-2x3 矩阵A属于λ2= λ3=1的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1=(-1,-2,1)T 当λ2= λ3=1时,有(A-E)x=0 k2 p2 = k2(-1,-2,1)T k2≠0为任意实数 方阵的特征值与特征向量 求A的特征值与特征向量． 解 A的特征多项式 得A的特征值 λ1=-1, λ2= λ3=2 当λ1=-1时,有(A+E)x=0 方阵的特征值与特征向量 解之得, x2=0, x1=x3为任意实数 矩阵A属于λ1=-1的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p1=(1,0,1)T k1 p1 = k1(1,0,1)T k1 ≠0为任意实数 方阵的特征值与特征向量 解之得 -4x1+ x2+x3=0 矩阵A属于λ2= λ3=2的全部特征向量 于是相应的特征向量可取p2=(0,1,-1)T, p3=(1,0,4)T 当λ2= λ3=2时,有(A-2E)x=0 k2 p2+ k3 p3 = k2(0,1,-1)T+ k3(1,0,4)T k2 k3 ≠0为任意实数 方阵的特征值与特征向量 n阶方阵A为奇异矩阵的充要条件是A有一 个特征值等于0. 证明 必要性 若A为奇异矩阵,则|A|=0,于是有 |0I-A|=(-1)n |A|=0, 故0是A的一个特征值. 若0是A的一个特征值,其相应的特征向量x, 充分性 由定义知 Ax=0x=0 , 因特征向量x≠0,要使齐次线性方程组Ax=0 有 非零解,则需要|A|=0,即A为奇异. 方阵的特征值与特征向量 证明 若λ是矩阵A的特征值,x是A的属于 证明 再继续施行上述步骤m-2次,就得 λ的特征向量,则有 (1)λm 是Am的特征值(m是任意常数) 故λm 是Am的特征值,且x是Am 属于λm的特征 向量. (2)当|A|≠0时,则λ-1 是A-1的特征值. 方阵的特征值与特征向量 故λ-1 是A-1的特征值,且x是A-1 属于λ-1的特征向量. (2)若|A|≠0时,则A可逆,于是知A的特征值λ≠0. 方阵的特征值与特征向量 方阵的特征值与特征向量 性质1 设λ0 是A的特征值,则kλ0 是kA的特征值 证明 若λ