方阵的特征值与特征向量 (2).ppt

第4章 矩阵的特征值 第4章 矩阵的特征值 §4.2 方阵的特征值与特征向量 2011,数学1,2,3 2011,数学1,2,3 * 下页 上页 返回 L/O/G/O * 线性代数 数学与信息学院 柏钦玺baiqinxi98@163.com 工程技术中的一些问题? 如振动问题和稳定性问题? 以及一些离散的动态系统问题（可以参阅§4.5）可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题? 数学中诸如方阵的对角化及解微分方程组的问题? 也都要用到特征值的理论? 与矩阵之间的等价关系类似，我们要讨论了矩阵之间的相似关系以及把一个方阵化为对角阵的问题． §4.1 向量的内积、长度及正交性 §4.2 方阵的特征值与特征向量 §4.3 相似矩阵 §4.4 实对称矩阵的对角化 第4章 习题课 一、特征值与特征向量的概念 二、特征值与特征向量的求法 三、特征值与特征向量的性质 线性变换 是指关系式 . ， ， ，则 记 线性变换 P37: 提示： 定义 设A是n阶矩阵? 如果数?和n维非零列向量x ?使 Ax ? ?x? 那么? 数 ? 称为方阵A的特征值? 非零列向量x 称为方阵A的对应于特征值?的特征向量? Ax??x ?(A??E)x?0? 齐次线性方程组(A??E)x?0有非零解?|A??E|?0? 一、特征值与特征向量的概念 注? (1) 特征向量x≠0, 特征值问题是针对方阵而言的. (2) 由Ax ? ?x 知, A作用非零向量 x 后 x→ ?x, 即 x 变为原来的 ? 倍. 伸缩变换 y=Ax， 对向量x的伸缩量 就是A的特征值。 特征值的求法 |A??E|?0的根?，就是方阵A的特征值. 特征多项式与特征方程 设A为n阶方阵? 则称?的n次多项式f(?)?|A??E|为方阵A的特征多项式? 称|A??E|?0为方阵A的特征方程? 二、特征值与特征向量的求法 特征向量的求法 齐次线性方程组(A??E)x?0的非零解x， 就是方阵A的对应于特征值?的特征向量? 提示： Ax??x ?(A??E)x?0? 齐次线性方程组(A??E)x?0有非零解?|A??E|?0? 特征值的求法 |A??E|?0的根?，就是方阵A的特征值. 特征值与特征向量的求解步骤 设A为n阶方阵? (1) |A??E|?0 　= A的特征值?i . 二、特征值与特征向量的求法 特征向量的求法 齐次线性方程组(A??E)x?0的非零解 x， 就是方阵A的对应于特征值?的特征向量? (2) (A??iE)x?0 = 非零解 x =pi 就是A的对应于特征值?i的特征向量. 特征值的求法 |A??E|?0的根?，就是方阵A的特征值. 二、特征值与特征向量的求法 特征向量的求法 齐次线性方程组(A??E)x?0的非零解x， 就是方阵A的对应于特征值?的特征向量? 特征值的求法 | ?E? A|?0的根?，就是方阵A的特征值. | ?E? A| |A??E| ?(－1)n 设A为n阶方阵? 例4.2.1 求矩阵 的特征值和特征向量? 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为?1?2? ?2??3?1? 得基础解系p1?(0? 0? 1)T? 对于?1?2? 解方程(A?2E)x?0?即 所以kp1(k?0)是对应于?1?2的全部特征向量? 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为?1?2? ?2??3?1? 得基础解系p2?(1?2? ?1)T? 得基础解系p1?(0? 0? 1)T? 对于?1?2? 解方程(A?2E)x?0? 所以k1 p1(k1 ?0)是对应于?1?2的全部特征向量? 对于?2??3?1? 解方程(A?E)x?0? 所以k2 p2(k2 ?0)是对应于?2??3?1的全部特征向量? 例4.2.1 求矩阵 的特征值和特征向量? 例4.2.2 求矩阵 的特征值和特征向量? 解 A的特征多项式为