无穷小无穷大极限运算法则.ppt

§1.2.2无穷小量与无穷大量 §1.2.3极限运算法则 * * 一.无穷小量. 1.定义. 在某一变化过程中，以零为极限的变量,称为在此变化程中的无穷小量,简称无穷小。 例： 在n→∞时是无穷小量 ∴变量 在x→1时是无穷小 ∴变量 在x→+∞时是无穷小量 2.无穷小量的性质 性质1. 性质2.(简表为) 0±0→0 0 0→0 可推广到 有限个情况 0+0+0+…→0 0 0 0…→0 性质3. 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小量. N(x) 0→0 C 0→0 特别 例如 =0 0 (0-0→0) =0 N(x)是有界量 二.无穷大量 1.定义.在某一变化过程中,绝对值无限增大的变量称为在此变化过程中的无穷大量.简称无穷大。 记作 (含+∞,-∞,這两种情况变量的绝对值均会无限增大) 但为了方便起见也说在此过程中函数的极限为无穷大 y 0 x 1 2.无穷大量与无穷小量的关系 定理.在同一变化过程中,如果 是无穷大量,那么 是无穷小量；即若 若 且 则 是同一过程的无穷大量；即 是无穷小量 简记为：无穷小和无穷大互为倒数 三.无穷小量的比较 当X→0时,变量 2X, 5X, 都是无穷小量,但它们趋于零的 速度不同, 趋于零的速度比2x,5x趋于零的速度快得多！ 看下表 X 1, 0.1 , 0.001 , 0.00001 ,… 2x 2, 0.2 , 0.002 0.00002 ,… 5x 5, 0.5 , 0.005 , 0.00005 ,… 1, 0.001,0.000000001,0.000000000000001,… 为了比较在同一变化过程中无穷小量趋于零的速度,引入以 下几个概念：设 是同一过程的无穷小量 1. 若 称 2. 若 称 3. 若 称 特别当c=1时即当 时称 例 试比较下例无穷小量的阶 ⑴当x→0时, 解： ∵ 0 ∴当x→0时 ⑵当x→3时 解： ∵ 6 ∴ 当x→3时 是同阶无穷小 ⑶当x→0时 解： ∵ 1 ∴当x→0时 是等价无穷小 定理 设函数 在自变量x的同一变化过程中都 有极限： lim =A, lim =B 则有 ⑴ ⑵ 推论1 推论2 ⑶ (其中lim )