正交变换六、实对称矩阵的标准形.PPT

* 高等代数 复 习 第五章 二次型 第六章 线性空间 第七章 线性变换 第九章 欧氏空间 第八章 矩阵 第五章 二次型 §1 二次型的矩阵表示 §2 标准形 §3 唯一性 §4 正定二次型 二次型 对称矩阵 标准形 对角矩阵 合 同 变 换 线 性 替 换 非 退 化 复 二 次 型 的 规 范 形 实 二 次 型 的 规 范 形 正惯性指数 ＝变元个数 n 单位矩阵 正定二次型 正定矩阵 顺序主子式 全大于零 合 同 定理1 定理2 定 理 6 定理3 定理4 定理5 负定、半正定、半负定、不定二次型 定理7 C′AC=B X=CY 1、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形. 2、实二次型的正定性的判断； 实二次型其它类型的判断. 3、利用标准形和正定性等性质来证明有关问题. 方法：1）配方法; 2）合同变换法. 3）正交变换法 方法：1）用正定二次型的定义； 基本题型 2）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性; 　　　 3）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正定. 第六章 线性空间 一、线性空间的定义与基本性质 二、维数，基与坐标 三、子空间及其形成 四、线性空间的同构 主要内容 重点：子空间的和（直和）、基与维数 基本内容之间内在联系示意图 线性空间 线性相关性 线性子空间 极大线性相无关组 子空间的交与和 维数、基与坐标 线性空间的同构 子空间的直和 余子空间 一、线性空间线性子空间的判定或证明 二、线性空间的基与维数的确定 三、过渡矩阵及向量坐标的求法 基本题型 四、直和的判定或证明 熟记一些常线性空间的维数及其一组基 数域P上的 线性空间 维数 一组基 基本内容 一、线性变换及其运算 二、线性变换与矩阵 三、特征值与特征向量 四、线性变换与矩阵的对角化 线性变换的矩阵表示及它们对角化的条件和方法. 难点： 重点： 不变子空间的概念和线性变换与矩阵的一一对应关系. 第六章 线性变换 线性变换的定义 线性变换的运算 线性变换的矩阵 值域与核 相似矩阵 哈密顿-凯莱定理 对角矩阵 矩阵的特征值 矩阵的相似化简 若当矩阵 准对角矩阵 不变子空间 最小多项式 线性变换的特征值 寻找合适的基 基本题型 一、线性变换判定及运算 二、线性变换与矩阵的特征值、特征向量的求法 三、线性变换与矩阵的对角化判定、化法及证明 四、线性变换的值域与核的求法及有关证明 一、λ－矩阵的定义及基本性质 二、λ－矩阵的标准形 三、矩阵相似的条件、若当标准形 λ－矩阵的标准形；复矩阵的若当标准形. 难点： 重点： 不变因子与初等因子的关系；求若当标准形. 基本内容 第八章　 －矩阵 基本题型 一、化λ－矩阵为标准形 二、求矩阵若当标准形 法一. 初等变换法　　 法二. 行列式因子法　　 法一. 初等变换化对角形再因式分解　　 法二. 利用行列式因子求出不变因子再因式分解　　 基本内容 一、定义与基本性质 二、标准正交基 三、同构 五、子空间 正交变换以及实对称矩阵标准形。 难点： 重点： 正交变换的充要条件和实二次型的主轴问题 第九章 欧几里得空间 四、正交变换 六、实对称矩阵的标准形 内积 欧氏空间 线性变换 长度、夹角、正交 正交变换化实二 次型为标准形 标准正交基 欧氏空间的同构 实对称矩阵正交 相似对角阵 向量到子空 间的距离 最小二乘法 子空间 对称变换 正交变换 对称矩阵 正交矩阵 正交子空间 正交补 * 高等代数 * *