有两个约束条件的条件极值.ppt

四川大学数学学院 徐小湛 30 March 2012 Santa II, p.156 有两个约束条件的条件极值 推导三元函数在两个约束条件下取得极值的必要条件 目标函数 约束条件 设函数 u=f(x,y,z) 在点 (x, y, z) 处取得满足两个约束条件的极值。由隐函数知识，两个约束条件的方程可以确定两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x)。将这两个一元函数代入目标函数，则一元函数u=f(x,y(x),z(x))=u(x) 在点 x=x 处取得极值。由极值的必要条件， 另一方面，将两个一元函数 y=y(x) 和 z=z(x) 代入两个约束条件方程，得两个恒等式： 以上二式两端对 x 求导，得 由 (1), (2), (3) 式知道，以下三个梯度 在点(x, y, z)处都与向量 垂直。 所以这三个梯度在点 (x, y, z) 处是共面的。这就是函数 u=f(x,y,z) 在 (x,y,z) 处取得满足两个约束条件的极值的必要条件。 约束条件 和 函数 取得满足 即它们的混合积为零： 的极值的必要条件是： 命题 四川大学数学学院 徐小湛 30 March 2012 Santa II, p.156