有限元位移约束条件的引入.ppt

用虚功原理确定等效节点力 若三角形单元上作用有集中力g、分布力q(力/面积)和体积力p(力/体积)，则根据静力等效原理，节点力所做的虚功等于三种力所做的虚功。 集中力的等效节点力计算 体积力的等效节点力 形成载荷列阵{F} §4-5 边界条件的处理和整体刚度矩阵的修正，计算实例 根据约束情况若在第一点的水平位移为: u1= β1，在第二节点的水平位移为: u2 = β3，把节点所对应刚度矩阵的行和列第一行和第一列及第三行和第三列, 除主对角元改成1，其余的元素都改成零，同时把左端的{F}载荷列阵中对应的行改为己知位移值β1,β3 ，其余的行都减去节点位移值与原来刚度矩阵该行的相应列元素的乘积。 乘大数的方法 同理可得 * 第四章 平面问题的有限元分析 §4-4 等效节点力的计算 计算等效节点力 代入上式，得 由此可知 由体积力引起的等效节点力 由表面力引起的等效节点力 由集中力引起的等效节点力 由于 表面分布力的等效节点力 由于 由于 把各单元上的等效节点力{R}e根据单元的编号迭加到载荷列阵{F}对应行中 {F0} 表示作用在各节点上的集中力 {R } e = {F} e +{Q} e +{P} e 整体刚度矩阵[K]是奇异阵，必须考虑边界约束条件，排除弹性体的刚体位移。消除了整体刚度矩阵的奇异性之后，才能从方程组 中求解节点位移。 一般情况下，所考虑问题的边界往往已有一定的位移约束条件，排除了刚体运动的可能性。否则，应当适当指定某些节点的位移值，以避免出现刚体运动。在引用这些边界条件以后，待求节点未知量的数目和方程的数目便可相应地减少。 但是在编制程序时，为了避免计算机存储作大的变动，应保持方程原有的数目不变。这时，须引入已知的节点位移。一般有两种方法：划行划列方法及乘大数方法。 若结构物划分为n个节点，它的刚度矩阵为2n行2n列 采用划行划列的方法 把指定位移所对应的主对角元乘大数，一般取1015，把对应的载荷列阵中的载荷改为指定位移值乘对应的主对角元再乘大数。 若u1= ?1，u2 = ?3 u1所对应 [K]中的主对角元 k11乘大数1015，对应载荷列阵{F}中的载荷改为 ?1*k11*1015 u2所对应 [K]中的主对角元 k33乘大数1015，对应载荷列阵{F}中的载荷改为 ?3*k33*1015。 其他方程不变 为此我们就建立了新的方程 由于某些项乘上大数，没有乘大数的项可以忽略。 §4-6 有限元分析的实施步骤 　　根据前面的讨论，现以三角形常应变单元为例来说明应用有限元法求解弹性力学平面问题的具体步骤。 ①力学模型的确定根据工程实际情况确定问题的力学模型，并按一定比例绘制结构图、注明尺寸、载荷和约束情况等。 ②将计算对象进行离散化，即弹性体划分为许多三角形单元，并对节点进行编号。确定全部节点的坐标值，对单元进行编号，并列出各单元三个节点的节点号。 ③ 计算载荷的等效节点力（要求的输入信息）。 ④ 由各单元的常数bi 、ci 、bj 、cj 、bm 、cm 及行列式2 ?，计算单元刚度矩阵。 返回 ⑦ 求解线性方程组，得到节点位移。 ⑧ 计算应力矩阵，求得单元应力，并根据需要计算主应力和主方向。 ⑨ 整理计算结果（后处理部分）。 　　为了提高有限元分析计算的效率、达到一定的精度，应该注意以下几个方面。 ?一. 对称性的利用 　　在划分单元之前，有必要先研究一下计算对象的对称或反对称的情况，以便确定是取整个物体，还是部分物体作为计算模型。 返回 ⑤ 组集整体刚度矩阵，即形成总刚的非零子矩阵。 ⑥ 处理约束，消除刚体位移。 例如，图4-11(a)所示受纯弯曲的梁，其结构对于x、y轴都是几何对称的，而所受的载荷则是对于x轴对称，对于x轴反对称。可知，梁的应力和变形也将具有同样的对称特性，所以只需取1/4梁进行计算即可。取分离体如图4-11(b)所示，对于其它部分结构对此分离体的影响，可以作相应的处理，即对处于y轴对称面内各节点的x方向位移都设置为零，而对于在x轴反对称面上的各节点的x方向位移也都设置为零。这些条件就等价于在图4-11(b)中相应节点位置处施加约束，图中o点y方向施加的约束是为了消除刚体位移。 返回 图4-11 　　节点的多少及其分布的疏密程度（即单元的大小），一般要根据所要求的计算精度等方面来综合考虑。从计算结果的精度上讲，当然是单元越小越好，但计算所需要的时间也要大大增加。另外，在微机上进行有限元分析时，