有限元分析与应用技术培训教材.ppt

实例2 （整体分析与求解） 有限单元法求解直杆拉伸： 假设线单元数为3个的情况， 平衡方程有3个： i=1时， i=2时, i=3时， 联立解得 与材料力学的精确解答在结点处完全相同 1-4 有限元法的基本步骤 所研究问题的数学建模 物体离散 单元分析 整体分析与求解 结果分析及后处理 力学模型 (平面应力问题) 有限元模型 1-5 有限单元法的形成与发展 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两种不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以回顾到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。 1-5 有限单元法的形成与发展 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。 在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。 1-5 有限单元法的形成与发展 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。 有限元法不仅能应用于结构分析，还能解决归结为场问题的工程问题，从二十世纪六十年代中期以来，有限元法得到了巨大的发展，为工程设计和优化提供了有力的工具。 有限元法是一种数值计算方法。可广泛应用于各种微分方程描述的场问题的求解。 1-6 有限元法的几个热点问题 新型单元的研究 1、面向特性材料（如复合材料）的单元位移模式研究 2、面向几何设计的新型单元（如超单元）的研究 面向物理问题的有限元建模 如有限元建模专家系统、决策支持系统、网格划分算法等 有限元法计算速度的研究 如并行计算等 结构优化 1-7 有限元法的基本概念 结构离散（有限元建模） 内容：1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理为节点约束和节点载荷 要求：1）离散结构必须与原始结构保形----单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同----单元的物理特性 单元与节点 单元：即原始结构离散后，满足一定几何特性和物理特性的最小结构域 节点：单元与单元间的连接点。 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力 节点载荷：作用于节点上的外载。 注意：1)节点是有限元法的重要概念，有限元模型中，相邻单元的作用通过节点传递，而单元边界不传递力，这是离散结构与实际结构的重大差别； 2）节点力与节点载荷的差别 节点载荷 节点力 非法结构离散 不同材料 节点不合法 典型单元类型 单元类型 单元图形 节点数 节点自由度 杆单元 2 2 梁单元 2 3 平面单元 3 2 平面四边形 4 2 轴对称问题 3 2 板壳单元 4 3 四面体单元 4 3 插值函数（或位移函数） 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函