有限元与数值方法讲稿.ppt

State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment Dalian University of Technology, China 有限元与数值方法第一讲 教学内容 参考教材 第一章 前言 固体力学的任务（续） 重点：建立固体在外部作用下的变形和应力以及演化规律的数学模型（控制方程） 例如： 应力~外力之间的关系：平衡方程（运动方程） 应力~应变之间的关系：本构方程研究变形的机理，变形的诱因（外部作用）、应力和应变的定量关系：弹性问题：Hooke定律热弹性问题：热膨胀规律塑性问题：屈服条件；强化准则；流动准则 断裂问题：起裂条件；扩展规律 变形的描述以及几何关系 主要研究变形的描述方式（应变，位移，转角等） 建立变形与位移之间的定量关系 应变与位移之间的定量关系 例如：小变形条件下： 有限变形条件下： 边界条件： 位移边界： 应力边界： 求解方法以及对应的控制方程 （1）力法 未知量：以应力作为基本未知量 控制方程：平衡方程；相容方程（变形协调方程） （2）位移法： 未知量：以位移作为基本未知量 控制方程：位移表示的平衡方程； 边界条件 对应原理，变分原理 研究：微分方程的积分形式， 泛函变分与基本方程的对应 建立各种问题所对应的变分原理 任务：国体力学是建立固体变形规律所必须满足的规律以及数学模型，为各种求解策略提供理论基础。 计算固体力学的任务和研究内容 任务： 以固体力学的基本理论为基础，研究利用计算机科学与技术求解固体力学中各类问题的数值分析理论、方法、建模、软件实现； 研究内容： （1）研究固体力学中各类问题的数值计算方法，基本原理； （2）采用数值模拟技术，分析固体的变形演化规律、破坏规律、应力分布规律，揭示新的力学现象，包括材料性能揭示；工程中的力学问题等。 （3）工程问题的模型化、可视化、虚拟现实 结构分析问题 各种工程结构常见的结构元件： （1）杆、梁、柱（长＞＞宽和高） （2）板(中厚板)、壳（厚＜＜长和宽） （3）三维体 （4）薄壁结构（飞机机翼与机身等） （5）以上结构类型的复合体 计算力学发展展望 计算力学发展展望 计算力学发展展望 计算力学发展展望 教学内容 弹性力学的基本理论 弹性力学的基本方程 应力和平衡方程 几何关系（位移和应变的关系） Green应变 位移、应变与几何方程 位移、应变与几何方程 材料的本构关系 线性弹性应力－应变关系（线弹性） 胡克定律：单向拉伸，如弹簧等 广义胡克定律：复杂应力状态 非线性弹性应力－应变关系 塑性本构关系：含“内变量”并与热相关 粘弹性本构关系：应力与应变率相关 低碳钢单轴拉伸试验曲线 热应变 弹性力学问题的构成 弹性力学的主要解法 求解策略 物理模型的简化 杆（梁） 平面问题 平面应力问题，薄板 平面应力问题：（很厚）柱体 板（壳） 发展数值求解策略 直接求解方法：差分方法 积分形式的控制方程问题：有限元，加权余量等 杆件(包括杆和梁) 平面应力问题 试件 颈缩 一般线弹性材料的本构关系 应力和应变满足 由功的互等关系，共有21个独立的弹性常数 注意：主应力和主应变方向不重合 各向同性线弹性材料的本构关系 各向同性线弹性和小变形假设下，应力和应变满足广义虎克定律 对各向同性材料有 (有2个独立的弹性常数 ) 主应力和主应变方向重合 各向同性线弹性材料的本构关系 对于平面应力状态，上式成为 或 对于平面应变状态，则为 或 线弹性本构关系的张量表示 一般的各向异性材料的线弹性应力－应变关系： 或 对于一般的各向异性材料，弹性常数中只有21个独立 三维各向同性材料本构方程： 正交各向异性线弹性材料的本构关系 应力和应变满足（选取弹性对称轴为x,y,z轴） 由功的互等关系，共有9个独立的弹性常数 若坐标旋转，则上述正交性质将被掩盖 对于各向同性材料，热应变与温度变化成正比： 考虑热应变，应力－应变关系成为： 边界条件 在位移边界条件上： 在应力边界上： 弹性力学问题的建立与求解 变量：3个位移分量，6个应力分量，6个应变分量 基本方程：平衡方程，几何方程，物理方程 边界条件：位移边界条件 ，应力边界条件 求解方法及相对应的控制方程： 力法：以应力为基本位移量 平衡方程：变形协调方程 位移法：以位移为基本未知数 平衡方程：位移表示的平衡方程 对应原理：变分原理 微分方程的积分形式，泛