有限元分析第4章平面问题有限单元法2.ppt

有限元分析 内容 Chp.4 平面问题的有限元法 2 4.3 形函数的性质 4.4 整体刚度矩阵的组装及其性质 4.5 等效节点载荷向量 要求 理解：连续体有限元分片插值的含义； 形函数的功能及其性质； 基于虚功方程的整体刚度矩阵的组装； 基于虚功方程的等效节点载荷向量的生成 掌握： 常应变三角形单元组装技术； 常应变三角形单元等效节点载荷向量的生成 课后作业 推导常应变三角形单元总刚和等效载荷向量 回顾 连续体有限元分析的基本流程 回顾 离散化方法 回顾 形函数（shape function）及其性质 单元分析流程 单元分析流程 单元分析流程 单元刚度方程建立了单元的节点力与节点位移之间的关系， 称为单元刚度矩阵。它是6×6矩阵，其元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。 一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 一、单元刚度矩阵的物理意义及其性质 一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 一、 单元刚度矩阵的物理意义及其性质 回顾 连续体有限元分析的基本流程 二、单元组装技术 二、单元组装技术 二、单元组装技术 二、单元组装技术 三、 单元等效节点外载荷向量 三、 单元等效节点外载荷向量 三、 单元等效节点外载荷向量 三、 单元等效节点外载荷向量 课后作业 如图（a）所示一高深悬臂梁，在右端部受集中力F作用，材料弹性模量E、泊松比v＝1/3，悬臂梁的厚度（板厚）为t，如图（b）所示有限元模型，试按平面应力问题，求结构总体刚度矩阵和总体载荷向量。 再 见 * * 李建宇 天津科技大学 Finite Element Analysis 有限元分析——4－3,4,5 整体 离散 单元分析 单元 组装 整体解算 连续体结构 人工节点 逼近离散 vm um vj vi ui i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e uj y x o 单元节点位移 Fmy Fmx Fjy Fiy Fix i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e Fjx y x o 单元等效节点力 单元刚度方程 几何实体的逼近性离散 三角形单元分析 目标：对三角形单元，建立节点位移与等效节点力之间的转换关系。 vm um vj vi ui i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e uj y x o 单元节点位移 Fmy Fmx Fjy Fiy Fix i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e Fjx y x o 单元等效节点力 ～ ？ 回顾 三角形单元分析 单元分析的流程 （1）节点位移 内部节点位移 vm um vj vi ui i (xi , yi) j (xj , yj) m (xm , ym) e uj y x o 解决办法：插值 (分片插值的提法) 形函数矩阵 回顾 下标i, j, m 轮换 性质： 其中： （a）Ni (x, y)在i点的节点位移为1，其它节点为0。 （b）单元中任一点各形函数的和为1。 力学意义：固定 j，m节点，使i节点发生位移1，则单元内各点的位移场为Ni (x, y)。 力学意义：令单元发生刚体位移u0，则单元内各点的位移均为u0，即 （2）内部节点位移 应变 回顾 解决办法：弹性力学几何方程 [B]矩阵称为应变矩阵 得 代入 该单元为常应变单元 （3）应变 应力 回顾 解决办法：弹性力学物理方程 得 代入 [S]矩阵称为应力矩阵。 例：对于平面应力问题 代入 得 其中 （4）应力 等效节点内力 回顾 解决办法：单元平衡分析 平面问题虚功原理 代入 得 内力虚功＝ 外力虚功＝ 外力虚功＝内力虚功 单元刚度方程 已经求出了下列关系 结点力和节点位移的关系：(以简单平面桁架为例) 平面问题中，离散化的单元组合体极为相似，单元组合体在节点载荷的作用下，节点