有限元法的力学基础.ppt

（3）混合边界条件 (1) 物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。 (2) 物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。 图(a)： —— 位移边界条件 —— 应力边界条件 图(b)： —— 位移边界条件 —— 应力边界条件 第七节 边界条件 第八节 圣维南原理 （1）平衡微分方程： （2）几何方程： （3）物理方程 第七节 边界条件 （4）边界条件： 问题的提出：边界条件难以满足！ 1.静力等效概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。 第八节 圣维南原理 2.圣维南原理 (Saint-Venant Principle) 若把物体的一小部分边界上的外力用一个静力等效力系所替代，那么只导致近处局部应力的改变，而在距离作用点远处，其影响可忽略不计 P P 第八节 圣维南原理 表述一： 表述二： 如果物体一小部分边界上作用一平衡力系，则此平衡力系在物体内部产生的应力分布，仅局限于该力系作用的局部区域，在远处产生的应力可忽略不计 第八节 圣维南原理 表述二： 3.圣维南原理的应用 (1) 严格边界条件 (2) 应用圣维南原理：使应力的主矢和主矩分别等于对应的面力主矢与主矩. ……. (a) ……. (b) 第八节 圣维南原理 注意： (a)式精确，（b）式近似； (a)式为两个函数方程，（b）式为三个代数方程； (a)难以满足，（b）式容易满足； （b）式小边界可用，大边界不可用。 例1 如图所示，试写出其边界条件。 x y a h h q (1) (2) (3) (4) 第八节 圣维南原理 例2 图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。 左侧面： 右侧面： 上端面： 为小边界，可由圣维南原理求解。 y方向力等效： 对O点的力矩等效： x方向力等效： 注意： 应按正向假设！ 第八节 圣维南原理 x y 上端面： （方法2） 取图示微元体， 可见，与前面结果相同。 注意： 应按正向假设！ 由微元体的平衡求得， 第八节 圣维南原理 图示薄板，在y方向受均匀拉力作 用，α1= α2。N1与N2分别为AC同和AB面的外法线方向。证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。 课堂作业： 课后作业： P.31 习题：2-8，2-9, 2-10, 2-11, 2-12 　将一个物理导出量用若干个基本量的乘方之积表示出来的表达式，称为该物理量的量纲式 * * 二元函数泰勒展开式： 函数 在 某领域连续且 n+1 阶可导，则： x y O 第三节 平衡微分方程 P B A C x y O 取微元体PABC（P点附近） Z 方向取单位长度。 设P点应力已知： 单元内体力： AC面： BC面： 注： 1)应用了连续性假设 2）用了小变形假定，以变形前的 尺寸代替变形后尺寸。 知识点回顾 D 第三节 平衡微分方程 由微元体PABC平衡，得 整理得： 当 时，有 —— 切应力互等定理 P B A C x y O D 第三节 平衡微分方程 两边同除以dx dy，并整理得： 两边同除以dx dy，并整理得： P B A C x y O D 第三节 平衡微分方程 平面问题的平衡微分方程： 说明： （1）两个平衡微分方程，三个未知量： —— 超静定问题，需找补充方程才能求解。 （2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用； （3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关； （4）平衡方程对整个弹性体内都满足，包括边界。 P B A C x y O D 第三节 平衡微分方程 比较： 理论力学考虑整体平衡，只能用来确定物体是运动还 是静止状态； 材料力学考虑的是有限部分的平衡（▽V）； 弹性力学考虑的是微分体的平衡（dV），每个微分平衡 必然保证有限部分平衡和整体平衡，弹性力学对平衡的 考虑是严格的、精确的。 第四节 几何方程 刚体位移 第四节 几何方程 刚体位移 建立平面问题中应变与位移的关系 1. 几何方程 一点的变形 线段的伸长或缩短； 线段间的相对转动； x y O 考察P点邻域内线段的变形： u v 变形前 变形后 P A B u (x,y) v (x,y) 注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。 A dx B dy P 第四节 几何方程 刚体位