期权定价模型第6章(数学建模相关习题).ppt

* * 股票期权定价问题 Black-Scholes方程 和二叉树方法 数学实验 上海交大数学系 乐经良 在世界大多数证券市场上,有一种期权(option)的交易.例如,某种股票的现价为S=42美元,该股票的年波动率s=20%,市场的无风险年利率r=10%;若客户希望拥有在六个月即0.5年后以约定价格X=40(美元)购进这种股票的权利,而且届时他也可以放弃这种权利.试问:为拥有这种购买的选择权,客户该付多少钱? 换言之,这种期权的价格为多少? 实际问题 背景知识 衍生证券 — 期权(option) 约定价格： 看涨期权(call opton)；看跌期权(put option) 欧式(European)期权；美式(American)期权 期权价格：一种未定权益的价格 Black — Scholes 方程 简单分析 股票的现价为S,由于股票价格的波动率,到期时价格可能上扬为Su,也可能下跌为Sd. 为简单计,暂且假定涨跌幅均为10％ ,则有u=1+10％=1.1 ，d =1-10％＝0.9, Su($46.2) S Sd ($37.8) 显然前一情况客户会执行期权，后一情况会放弃期权 在股票价格为$46.2时,客户必定以敲定价格$40购进股票.这时期权的价格应为 Vu = Su - X = 46.2-40 = 6.2(美元) 期权价格 在股票价格为$37.8时,客户必定放弃这约定的股票购买权,这时期权的价格应为 Vd = 0(美元) 在期满日T时,期权 价格为 VT = max (ST - X ) Vu (6.2) V ? Vd (0) 反问题：由VT 求 V 如何定价的思路 基本思路是套期保值,即交易者为减少风险而采取的投资组合(portfolio)的策略.假定现在套利者卖出一份股票期权,价格为V,再以价格S买进a份这种股票,那么该组合的价格为 组合的目的是使之不具有风险,从而可获得无风险利率，那么在期权期满日,组合增值后的价值为 其中 另一方面，如前面分析， 这组合的在期权满日价格 由于组合无风险，故 将数据代入 r=e0.1×0.5, u = 1.1,d = 0.9,得到 V = 4.454 再作分析 记 那么 注意 p 正是股票价格上扬的概率,1- p 是股票价格上扬的概率，于是 Black - Scholes方程 利用股票价格的波动遵循几何布朗运动可以导出 Black-Scholes方程虽然影响巨大,但是它的数学推导和求解过程在金融界较难被广泛接受和掌握.尤其令人遗憾的是:对于美式期权,由于方程的定解问题更为复杂,不可能求出解的表达式. 对于欧式期权，这个方程可以求出解的公式 二叉树 在简单分析中.有一个显然的问题,例子中到期满日股价只有两种可能以及涨跌幅10％的假定都是很粗略的 事实上股票时刻都有可能涨跌，因此我们将T分为很多小的时间间隔Dt,而在每一个Dt,股票价格变化由S到Su或Sd.若价格上扬的概率为p,那么下跌的概率为1- p 如前所述,即股票预期收益率等于无风险利率,故有 利用概率论的知识，可以导出 确定有关常数 股票价格二叉树图 Su4 Su3 Su2 Su2 Su Su S S S Sd Sd Sd2 Sd2 Sd3 Sd4 一个T = 4 ?t 的二叉树图 计算期权的价格 期权的预期收益率也应该等