材料力学(土木类)第六章简单的超静定问题.ppt

* 第6章 简单的超静定问题 §6.1 超静定问题及其解法 静定结构: 仅靠静力平衡方程就可以求出结构的约束反力或内力 F A B 2 A F 1 B a a C 超静定结构(静不定结构): 静力学平衡方程不能求解 超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数 B D C A 1 3 2 F a a F F C F B F A B C A A F a a F F F N2 N3 N1 y x B C A D 习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。 超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。 从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的 超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问题。 补充方程：为求出超静定结构的全部未知力，除了利用平衡方程以外，还必须寻找补充方程，且使补充方程的数目等于多余未知力的数目。 根据变形几何相容条件，建立变形几何相容方程，结合物理关系（胡克定律），则可得出需要的补充方程。 补充方程的获得，体现了超静定问题的求解技巧。此处我们将以轴向拉压、扭转、弯曲的超静定问题进行说明。 §6.2?拉压超静定问题 1 拉压超静定问题解法 例 两端固定的等直杆 AB，在 C 处承受轴向力F如图，杆的拉压刚度为 EA，求杆的支反力. 解：一次超静定问题 F B A F A B a b l F C (1)力：由节点 A 的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程 （2）变形：变形协调条件(求补充方程) 可选取固定端 B 为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构 --称为原超静定结构的基本静定系或相当系统 注意原超静定结构的 B 端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在 B 点的位移为零。 即得变形协调条件 B F F B C A 在相当系统中求 B 点的位移,按叠加原理，可得 （3）?胡克定理(物理关系) （4）得出补充方程 得 FB为正,表明其方向与图中所设一致. x F B C A D BF x F B B A D BB 例 设l，2，3杆用铰连接如图，1、2两杆的长度、横截面面积和材料均相同，即l1=l2=l，A1=A2 =A ， E1= E2=E；3杆长度为l3 ，横截面面积为A3，弹性模量为E3 ,试求各杆的轴力。 解：一次超静定问题 (1)力：由节点A的平衡条件列出平衡方程 B D C A 1 3 2 F A F a a F F F N2 N3 N1 y x (2)变形：变形协调条件(求补充方程) (3)胡克定理 a a D l D l 3 1 B 1 a a 3 2 D C A A (4)得出补充方程 联立平衡方程、补充方程，求解得 在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关 增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。 归纳起来，求解超静定问题的步骤是： (1)．根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程； (2)．建立变形协调条件，求补充方程 (3)．利用胡克定律，得到补充方程； (4). 联立求解 例 一平行杆系，三杆的横截面面积、长度和弹性模量均分别相同，用A、l、E 表示。设AC为一刚性横梁，试求在荷载F 作用下各杆的轴力 解:?(1)受力分析--平衡方程 1 2 3 l a a a 2 B C A D F F D A B C F N1 N2 F N3 F (2)?变形分析—协调条件（求补充方程） (3) 胡克定理 (4)联立求解得 A B B C D D l 1 D l 2 C D l 3 得出补充方程 2 装配应力 · 温度应力 (1) 装配应力? 在静定问题中，只会使结构的几何形状略有改变，不会在杆中产生附加的内力.如1杆较设计尺寸过长，仅是A点的移动。 在超静定问题中，由于有了多余约束，就将产生附加的内力. 附加的内力称为装配内力,与之