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牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法
§3.4 牛顿迭代法
牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法
之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。
3.4.1 牛顿迭代法
用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才
能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方
式：
2 x [a,b]
1 设f (x) C [a,b] ，对f (x) 在点 0 作泰勒展开：
f ()(x x )2
f (x) f (x ) f (x )(x x ) 0
0 0 0
2!
f (x) f (x) f (x ) f (x )(x x )
略去二次项，得到 的线性近似式： 0 0 0 。
f (x )
0
x x
f (x) f (x ) 0 f (x )
由此得到方程 0 的近似根(假定 0 0)， 0
f (x )
k
x x
f (x ) k 1 k f (x )
即可构造出迭代格式(假定 k 0)： k 公式(3.4.1)
xk
这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{ }收敛于 ，则 就是非线性方程的根。
2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于f (x) 的线
l(x) f (x ) f (x )(x x ) y
性化近似函数 ＝ 0 0 0 是曲线 ＝
f (x) (x ,f (x )) f (x)
过点 0 0 的切线而得名
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