第一讲行列式与矩阵.pptVIP

一、行列式的引入 引例：用加减消元法求解 二元线性方程组 当 时，得 ， 计算 为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念. 于是得: 推论：如果线性方程组无解，或有两个以上的解，则它的系数行列式必为 0 。 齐次线性方程组求解 定义1：当线性方程组的常数项b1 , b2 , … , bn 全为0时，称之为齐次方程组。 定理：如果齐次线性方程组的系数行列式D ≠ 0，则齐次线性方程组只有零解。 推论1：如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必为零。 推论2：方程组一定有零解，但不一定有非零解。 定义2：对应的，线性方程组的常数项b1, b2 , … , bn 不全为0时，称之为非齐次方程组。 例2 问 λ取何值时，齐次方程 有非零解？ 解 由定理知，若齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D = 0。 而它的系数行列式是： 由D = 0 ，得 λ= 2、λ= 5 或λ= 8 。 不难验证，当 λ= 2、5 或 8 时，方程组确有非零解。 例3 问 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？ 解 由系数行列式 返回啦！ 1.4 矩阵及其计算 学习重点 矩阵的概念 矩阵的运算 在许多问题中，我们会遇到一些变量要用另外一些变量线性表示. 设变量 能用变量 线性表示，即 其中 为常数（ ）， 这些系数按它们在变换中原来的顺序构成一个矩形数表 又如，在物资调运中，某物资有两个产地上海、南京，三个销售地 广州、深圳、厦门，调运方案见下表 23 32 26 南京 20 25 17 上海 厦门 深圳 广州 销售地 产地 数量 这个调运方案可以简写成一个2行3列的数表 下面给出矩阵的定义 一、矩阵概念 几种特殊的矩阵： ①方阵：矩阵 的行数与列数相等，即 时，矩阵 称为 阶方阵，记作 ,左上角到右下角的连线称为主对角 称为主对角线元素. 线，主对角线上的元素 ②行矩阵：只有一行的矩阵 称为行矩阵. ③列矩阵：只有一列的矩阵 称为列矩阵. ④零矩阵：所以元素全为零的矩阵称为零矩阵.记作 或 . ⑤对角矩阵：除主对角线外，其他元素全为零的方阵称为 对角矩阵.为了方便，采用如下记号 ⑥单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵，记作 或 . ⑦三角矩阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵 称为上（下）三角矩阵. ⑧对称矩阵： 满足条件 的方阵 称为对称矩阵. 注： 矩阵与行列式是有本质区别的. 1）行列式是一个算式，而矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不同. 对于 阶方阵 ，有时也要计算它的行列式（记为 ） 或 2）但方阵 和方阵行列式 是不同的概念. 二、矩阵的线性运算 1.矩阵的相等 如果两个矩阵 行数和列数分别相同， ； ，则称矩阵 相等，记作： 且它们对应位置上的元素也相等，即 两个矩阵一模一样 2.矩阵的加（减）法：设 是两个 矩阵，规定： 称矩阵 为 与 的和. 称矩阵 为 与 的和. 矩阵的加（减）法与矩阵的数乘叫做矩阵的线性运算. 设A，B为m×n矩阵， ， （2）结合律 1.矩阵加法满足下列运算规律： （1）交换律 A+B=B+A； （2）结合律 （A+B）+C=A+（B+C）； 设A，B为m×n矩阵， （3）分配律 为数，不难验证， 2. 矩阵数乘满足下列运算规律： （1）交换律 性质 例1 设矩阵 (1) 计算 ； (2) 如果 ，求 ． 解 (1) （2） 例2 设某两个地区与另外四个地区之间的里程（单位：公里）可用矩阵表示为 如果货物每吨公里的运价为3元，则上述地区之间每吨货物的运费（单位：元 / 吨）应是数3与矩阵A的乘积，即 三、矩阵的乘法运算 行向量左乘列向量（行矩阵左乘列矩阵） 行向量与列向量的对应元素一一相乘，再相加。 定义矩阵的乘法： 是一个 矩阵， 是一个 矩阵， 设 若有 如果矩阵C中第i行第j列元素 是矩阵A第i个行向量与矩阵B的第j个列向量的乘积，那么矩阵C叫做A与B的乘积.记作： 注意