第七章多元统计检验.pptVIP

2005/11/23 (C)中国民航学院 理学院 牟德一 第七章 实用多元统计分析 7.1.1 引言 前述研究的总体（或观测指标）都是一个变量（一维）的情形。 研究一维随机变量的分布、数字特征等统计特性——一元统计方法。 多元统计分析是运用概率论、数理统计线性代数和一元统计方法为基础来研究多维随机变量（指标）问题的一类数学方法，是一元统计学的推广。 在实际问题中，多维随机变量普遍存在。很多随机现象涉及到的变量不止一个，且这些变量间又存在一定的联系。 例:表1－1 12名学生5门课程的考试成绩 如果仅用一元统计方法作成绩分析，每次分析处理一门课程的成绩，由于忽视了课程之间可能存在的相关性，因此，一般说来，丢失的信息太多，分析的结果不能全面反映全年级的学习情况。 需要研究很多问题：用各科成绩的总和作为综合指标，来比较学生学习成绩的好坏；根据各科成绩相近程度对学生进行分类（如成绩好的和成绩差的，又如文科成绩好的与理科成绩好的）；研究各科成绩之间的相关关系（如物理与数学成绩的关系，文科成绩与理科成绩的关系等）； ——都属于多元统计分析的研究内容。 多元分析是以p个变量的n次观测数据所组成的数据矩阵 为依据，对p维总体 进行统计推断的。 英国著名统计学家肯德尔（Kendall）在《多元分析》一书中把多元统计分析的研究内容和方法概括为以下几个方面： 简化数据结构（降维问题） 将复杂的数据结构通过变量代换等方式使相互依赖的变量（较多）变成（较少）互不相关的；或把高维空间的数据投影到低维空间，使问题简化而损失的信息又不太多。例如，主成分分析、因子分析等一类方法； 分类与判别（归类问题） 对所考察的观测点（变量）按相似程度进行分类（或归类）。如聚类分析、判别分析等； 变量间的相互联系 相互依赖关系：分析一个变量或几个变量的变化是否依赖于另一些变量的变化？如果是，建立变量间的定量关系式，并用于预测或控制——回归分析； 变量间的相互关系：分析两组变量间的相互关系——典型相关关系。 参数估计与假设检验 检验由多元总体参数表示的某种统计假设，据此证实假设条件的合理性。 7.1.2 多元统计分析的应用 教育学：体育运动项目的研究（因子分析）； 医学：利用多元统计方法可建立诊断的准则（即专家系统）； 气象学：气候预测,气候信息分析； 环境科学：大气污染问题（假设检验、回归分析）； 地质学——地质数学：矿石归类（判别分析）; 考古学; 服装工艺; 经济学：经济现象分析，预测，实证研究; 工、农业：试验方案的优化; 社会科学:根据研究对象进行某种分类（聚类分析）; 文学; 其它. 7.1.3 样本与常用统计量 多维随机向量（P381-P389） 多元统计分析的基本概念包括分布、数字特征、正态随机向量等，与一元统计分析类似有关概念如下： 统计总体G，用p个数量指标来刻画： 视X为一个p维随机变量。 对总体进行n次独立的观察（抽样）得到观测数据称为样本，每个称为样品，记为 矩阵 X称为原始数据矩阵或（多元）样本数据矩阵。 多元统计分析的任务： 总体的均值向量、协方差矩阵、相关矩阵分别为 其中 常用统计量 样本均值（向量）、样本协方差矩阵、样本相关矩阵分别为 其中 是一元统计中样本统计量的自然推广。 对于i, j= 1,2,…,p, 有： 7.1.4 距离 定义7.1: 如果样品 的函数,满足 1） 2） 3） 则称是样品之间的距离。 常用的距离 欧氏距离 不足之处:各分量的单位不同时,比较没有意义。 如考察患病指标＝(白血球数，体温)，有三个样品 但从医学常识看，显然是个谬误。（“大数吃小数”，数值分析）。 因此要考虑各项数值的加权问题。 马氏距离 定义： 为样品之间的马氏距离； 为样品到总体的马氏距离。 其中:μ,V分别是总体G的均值向量和协方差。 离差大的分量在距离中相应削弱它的影响程度。 不足之处:马氏距离与测量单位无关,夸大了变化微小的变量的作用。 B－模距离 对于给定的正定矩阵B,定义 为样品Xi与Xj之间的B－模距离； 闵可夫斯基距离 为样品Xi与Xj之间的闵可夫斯基距离 q=2时为欧氏距离, q=1时为绝对距离, q=+∞时为切比雪夫距离。 7.2 多元正态