电磁场第三章 边值问题.ppt

第三章 静态电磁场边值问题求解 3.1.1 静态场问题的类型 求解具体问题时究竟选择哪种通解形式，要由给定的边界条件的具体情况和通解中函数的特点来决定。 4.接地导体球与点电荷 球面上的感应电荷可用镜像电荷 q来等效。 q 应位于导体球内（显然 不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d。则有 如图所示，点电荷q 位于半径 为a 的接地导体球外，距球心为d 。 方法：利用导体球面上电位为零确定 和 q′。 　问题： P q a r R d q P a q r R R d d 令r＝a，由球面上电位为零，即? ＝0，得 此式应在整个球面上都成立。 条件：若 像电荷的位置 像电荷的电量 常数 q P q a R R d d O 由于 * * 电子工业出版社 主 要 内 容 静态场的边值问题及解的惟一性定理、分离变量法、镜像法 边值问题：在给定的边界条件下，求解位函数的泊松方程或 拉普拉斯方程 静态场问题：分布性问题和边值性问题 分布性问题：已知电荷、电流分布，求电磁场场量 包括正向问题、反向问题 已知场域边界面S 上的位函数值，即 　第一类边值问题（或狄里赫利问题） 已知场域边界面S 上的位函数的法向导数值，即 已知场域一部分边界面S1 上的位函数值，而另一部分边界面S2 上则已知位函数的法向导数值，即 　第三类边值问题（或混合边值问题） 　第二类边值问题（或纽曼问题） 例： （第一类边值问题） （第三类边值问题） 例： 自然边界条件 （无界空间） 周期边界条件 衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件，如 在场域V 的边界面S上给定 或 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。 3.1.3 惟一性定理 　惟一性定理的重要意义 　给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 　为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 　为求解结果的正确性提供了判据 　惟一性定理的表述 　惟一性定理的证明 反证法：假设解不惟一，则有两个位函数 和 在场域V内满足同样的方程，即 且在边界面S 上有 令 ，则在场域V内 且在边界面S 上满足同样的边界条件。 或 或 由格林第一恒等式 可得到 对于第一类边界条件： 对于第二类边界条件：若 和 取同一点Q为参考点 ，则 对于第三类边界条件： 将偏微分方程中含有n个自变量的待求函数表示成n个各自只含一个变量的函数的乘积，把偏微分方程分解成n个常微分方程，求出各常微分方程的通解后，把它们线性叠加起来，得到级数形式解，并利用给定的边界条件确定待定常数。 　分离变量法是求解边值问题的一种经典方法　 　分离变量法的理论依据是惟一性定理 　分离变量法解题的基本思路： 3.2 分离变量法 在直角坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为 3.2.1 直角坐标系中的分离变量法 将? (x, y) 表示为两个一维函数 X( x )和Y( y )的乘积，即 将其代入拉普拉斯方程，得 再除以 X( x ) Y( y ) ，有 分离常数 若取λ＝－k2 ，则有 当 当 将所有可能的 ? (x, y)线性叠加起来，则得到位函数的通解，即 若取λ＝k2 ，同理可得到 通解中的分离常数和待定系数由给定的边界条件确定。 例3. 1 无限长的矩形金属导体槽上有一盖板，盖板与金属槽绝缘，盖板电位为U0，金属槽接地，横截面如图所示，试计算此导体槽内的电位分布。 解：位函数满足的方程和边界条件为 因 ? (0 , y)＝0、 ? (a , y)＝0，故位函数的通解应取为 确定待定系数 将U0 在（0, a）上按 展开为傅里叶级数，即 其中 由 故得到 3.2.2 圆柱坐标系中的分离变量法 令其解为 代入方程，可得到 由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程 在圆柱坐标系中，若位函数与z 无关，则拉普拉斯方程为 通常? (ρ, ? )随变量? 的变化是以 2? 为周期的周期函数。因此，分离常数 k 应为整数，即k ＝n ( n＝0, 1, 2, … ) 。 当n = 0时 考虑到以上各种情况，电位微分方程的解可取下列一般形式 当n ≠ 0时 3.2.3 球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为 令 代入上式，得 与前同理，? 的解应为 且 上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与 r 无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 式