电路理论-5_3冲击响应和阶跃响应.ppt

5.3 冲击响应和阶跃响应 定义：系统的冲击响应就是电路系统在冲击信号激励下产生的零状态响应。即: (3)对h(t)求一阶,二阶导数 h(1)(t),h(2)(t) 求得 (3)微分法 定理：若已知电路系统的阶跃响应为g(t)，则其电路系统　 　　　的冲击响应由下式决定： ∵方程（1）中左端最高阶为 g(n)(t) ，右端最高阶为 U(m)(t) ∴即使m=n，g(t)中也不会包含δ(t), 故在n≥m时，若（1）式特征根互异，则自由响应： (1)线性性（即迭加性和均匀性） 定理1：线性时不变电路与系统在下述意义上是线性的： a.响应的可分解性：电路与系统的响应可以分解为零输入响应，零状态响应。 注意： （1）当系统同时存在n个激励时，系统的完全响应对于某个单独的激励不呈线性关系，而是对全部的激励呈线性关系。 （2）在这种叠加解法中，已经将各起始状态的作用也视为系统的激励，所以它与第二章中端口线性定义是一致的。也就是说，可以根据上述三条来定义线性系统。 （3）全响应是零输入与零状态的线性组成，它既不是激励的线性函数，也不是初态的线性函数，而仅能是零输入线性，零状态线性。 将上两式相加得： 根据微分方程解的唯一性充分条件，比较（6）（7）两式得： (3).微分特性： 定理3： 若线性时不变系统在激励f(t)作用下，产生零状态响应为yzs(t)，则当激励为 f ‘(t) 时，其响应为y’(t) 推论： （1）这个特性可以推广至高阶导数和积分。 （2）对几个典型的信号有： (4).因果特性： a.因果系统：如果tt0时，系统的激励信号为0，相应的输出响应在tt0时也等于0，则这样的系统称为因果系统。 b.因果特性：因果系统的激励是产生响应的原因，响应是激励引起的效果，或者说系统没有预知未来的能力，只有在激励加入后，才有响应输出，这种特性叫系统的因果特性。 例：某LTIS，在相同的初始状态下，输入为f(t)时，响应为：y(t)=(2e-3t+sin2t)U(t) ，输入为2f(t)时，响应为： y(t)=(2e-3t+2sin2t)U(t) （2） * * 1. 冲击响应 因为只有在t=0时,δ（t）才对电路系统作用，所以可以将这种瞬间作用等效成对电路内贮能元件进行能量存贮，即为等效初始条件，在t＞0时，由该等效初始条件引起电路产生的等效零输入响应。即： 2. h(t)求法 例:已知电路如图，iL(0-)=0 ,求iL(t) 解：（1）建立电路方程： (1)直接法: （等效初始条件法） (2) 将其转换为等效零输入响应： （3）求解：三要素法得： (2)比较系数法 因为由电路系统的（1）问题转为（2）问题，电路系统的解应具有相同的函数形式，一般 （1） 对于n＞m时，若电路系统方程的特征根互异，则由此得冲击响应为 （2）n=m时，若特征根互异： （3）nm时，若特征根互异： 若有重根，也可以同理推得公式。 因为特征根是由特征方程求得的，那么只要求得系数Ai和αj即可，为此采用比较系数法。 例：设描述电路系统I/O微分方程为： 试求其冲击响应 h(t) 解：（1） 求特征根： 方程表为： ∴系统微分方程的特征方程为： 即 (2)设系统的冲击响应为： 同理： 将 y(t) = h(t) , f(t) =δ(t) 等代入给定微分方程得： 即 左右两端相应项的系数必须相等: ∴冲击响应为： 解得： 这里我们巧妙地回避了求h(0+) 和 h(1)(0+) 的问题。 综上所述，我们将求冲击响应的方法步骤归纳如下： (1)求出电路微分方程的特征根。 (2)写出冲击响应解的表达式。 (3)对h(t)求导，求导的次数由方程的阶次n决定（注意δ(t) 抽样性）。 (4)将h(t)及其导数和δ(t) 代到电路微分方程，比较两端相应项系数（即令其相等），求得Ai，从而得到h(t)。 例：已知LTIS，当激励为12U(t)时，响应为(24－12e-2t)U(t)， 　　试求单位冲击响应。 （2）求h(t) 解： （1）单位阶跃： (4)拉普拉斯变换法（留待ch8讨论） 2.阶跃响应 (1)定义：LTIS在单位阶跃信号作用下，系统产生的零状态响应，叫做单位阶跃响应。即： (1) （2）比较系数法： 系统阶跃响应的求法与冲击响应的求法类似，但不同的是，根据U(t)的定义，t0，U(t) ≠0. ∴系统的阶跃响应是求解非齐次方程（0初条），它应包括齐次方程通解和非齐次特解。定义式可得： 强迫响应： (2)求阶跃响应的常用方法 （1）由h(t) →g(t) 故 由此可采用求冲击响应类似的方法，求得 g(t) b.零状态线性：当起始状态为零时，系统的零