空间向量的数乘运算(公开课).ppt

* * 3.1.2 空间向量的数乘运算 回 顾 a O b 结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. b a 一、空间向量的数乘： 2、空间向量的数乘的性质 （1）当 时， 与 同向 （2）当 时， 与 反向 1、定义： 实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 （3）当 时， 3、空间向量的数乘的运算律 （3）数乘结合律： （1）数乘分配律1： （2）数乘分配律2： 1、定义： 如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合， 则这些向量叫做 共线向量 二、空间中的共线向量 （或平行向量） （3）非零共线向量的传递性： （1）零向量与任一向量共线， （4）空间共线向量定理： 对空间任意两个向量 有且只有一个实数 ， 使 思考1：为什么要强调 思考2：这个定理有什么作用？ 1、判定两个向量是否共线 2、判定三点是否共线 O A B P a 若P为A,B中点, 则 向量参数表示式 推论:如果 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线,那么对任一点O,点P在直线 上的充要条件是存在实数t,满足等式 其中向量 叫做直线 的方向向量. 若 则A、B、P三点共线。 A、B、P三点共线 结论1: 三、共面向量: 1.平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量 既可能共面，也可能不共面 d b a c 由平面向量基本定理知，如果 ， 是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， 使 如果空间向量 与两不共线向量 ， 共面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？ 反过来，对空间任意两个不共线的向量 ， ，如果 ，那么向量 与向量 , 有什么位置关系？ C 2.共面向量定理：如果两个向量 ， 不共线， 则向量 与向量 ， 共面的充要条件是 存在实数对x,y使 推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使 C 对空间任一点O,有 填空： 1-x-y x y C ③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定. ③ 由此可判断空间任意四点共面 共面向量定理的剖析 如果两个向量 a，b 不共线, ★ 向量c与向量a，b共面 存在唯一的一对实数x，y，使 c＝xa＋yb ★ c＝xa＋yb 向量c与向量a，b共面 (性质) (判定) P、A、B、C 四点共面 结论2: 解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得 例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？ 练习3.下列说法正确的是： (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面 例2(课本例)如图，已知平行四边形ABCD,从平 面AC外一点O引向量　 　　 ,　　　 , , , 求证： ⑴四点E、F、G、H共面； ⑵平面EG//平面AC. 　 例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量 求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG. 证明： ∵四边形ABCD为 ① ∴ （﹡） （﹡）代入 所以 E、F、G、H共面。 例2 (课本例)已知 ABCD ，从平面AC外一点O引向量 求证：①四点E、F、G、H共面； ②平面AC//平面EG。 证明： 由面面平行判定定理的推论得： ② 由①知 A M C G D B 例3:如图,已知空间四边形ABCD中，向量 若M为BC的中点， G为ΔBCD的重心，试用 表示下列向量：