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竞赛几何部分基础知识讲座 自编 大纲要求 1．平面几何 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理； 三角形旁心、费马点、欧拉线； 几何不等式； 几何极值问题； 几何中的变换：对称、平移、旋转； 圆的幂和根轴： 面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。 梅涅劳斯定理 梅涅劳斯定理 编辑 梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）。[1]? 任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三条线段之积，这一定理同样可以轻而易举地用初等几何或通过应用简单的三角关系来证明. 梅涅劳斯把这一定理扩展到了球面三角形。 第一角元形式的梅涅劳斯定理如图：若E，F，D三点共线，则 (sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBE/sin∠ABE)=1 第二角元形式的梅涅劳斯定理 在平面上任取一点O，且EDF共线，则（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COE/sin∠AOE)=1。 数学意义 使用梅涅劳斯定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来解决三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。梅涅劳斯定理的对偶定理是塞瓦定理。[2]? 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 塞瓦定理 塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。 塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。 塞瓦定理记忆法：三顶点选一个作为起点，定一方向，绕一圈，三组比例相乘为1。 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1相当于BD*CE*AF=DC*EA*FB （Ⅰ）本定理可利用梅涅劳斯定理证明： ∵△ADC被直线BOE所截， ∴(CB/BD)·(DO/OA)·(AE/EC)=1① ∵△ABD被直线COF所截， ∴ (BC/CD)·(DO/OA)·(AF/FB)=1② ②/①约分得： (DB/CD)×(CE/EA)×(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面积关系证明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ ，AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得(BD/DC)·(CE/EA)·(AF/FB)=1 ①利用塞瓦定理逆定理证明三角形三条高线必交于一点: ②三角形三条中线交于一点（重心）: ③用塞瓦定理还可以证明三条角平分线交于一点 塞瓦定理推论 1.塞瓦定理角元形式 AD,BE,CF交于一点的充分必要条件是： (sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1 由正弦定理及三角形面积公式易证 2.如图，对于圆周上顺次6点A，B，C，D，E，F，直线AD，BE，CF交于一点的充分必要条件是： (AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圆弦长与所对圆周角关系易证。 使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用。塞瓦定理的对偶定理是梅涅劳斯定理。 西姆松定理是一个几何定理。表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线上的垂线，则三垂足共线。（此线常称为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上 证明一：△ABC外接圆上有点P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分别连FE、FD、BP、CP. 易证P、B、D、F和P、F、C、E分别共圆，（四点共圆） 在PBDF圆内，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圆内∠ABP+∠ACP =180度， ∴∠DFP=∠ACP ①， 在PFCE圆内 ∠PFE=∠PCE ② 而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠DFP+∠PFE=180° 　④ 即D、F、E共线. 反之，当D、F、E共线时，由④→②→③→①可见A、B、P、C共圆. 证明