第13章 NP完全问题.ppt

第13章 NP完全问题 13.1 确定图灵机 13.2 不确定图灵机 13.3 P和NP类 13.4 NP完全性和COOK定理 13.5 若干NP完全问题 小结 13.1 确定图灵机 图灵的基本思想是用机器来模拟人们用纸笔进行数学运 算的过程，他把这样的过程看作下列两种简单的动作：在纸上 写上或擦除某个符号和把注意力从纸的一个位置移动到另一个 位置 图灵机中设有两个终止状态：接收状态和拒绝状态。如 果进入这两种状态，图灵机就停机，输出接收或拒绝；否则就 继续执行下去，不停机 图灵机的一个计算所进行的步骤如下： （1）依照从带头扫描到的当前符号和当前状态所确定的映 射关系，把当前状态改变为新的状态。 （2）根据原始程序的规定，或者清除从带头扫描到当前方格 中原有的带符号并写上新的带符号；或者保留原有的带符号。 （3）按原始程序的规定，每一带的带头，或者向左移动一 格，或者向右移动一格；或停在当前方格不动 用一个七元式来形式地描述一台带图灵机。 用一个七元组(S, IN, T, F, S0, Sy, Sn)来表示一台图灵机（Turing Machine），其中S, IN, T都是有穷集，且满足： （1）S是状态集合。 （2）IN是输入字母表，其中不包含特殊的空白符。 （3）T是带字母表，其中∈T且IN?T。 （4）F: S×T → S×T×{-1, 1}是转移函数，其中-1, 1表示读写头是向左移还是向右移。 （5）S0∈S是起始状态。 （6）Sy∈S是接受状态。 （7）Sn∈S是拒绝状态，且Sn≠Sy。 以下介绍一些图灵机中的常用术语： M的带描述(tapx dxscription)是这样一个函数G: N → T，其 中G(i)表示M的带上第i个格子中的符号。 M的格局(conGiguration)是这样一个三元组(G, s, x)，其中 G: N → T是当前的带描述，s∈S是当前的状态，x∈N是当前 读写头所处的位置；设C1=(G, s, x)，C2=(G, s, x)是M的格 局，图灵机M的格局由C1变成到C2，则称格局C1直接产生 C2，记作C1├MC2。设C=(G, s, x)为M的格局，若s=sy则C称 为接受格局；若s=sn则C称为拒绝格局；接受格局和拒绝格局 统称为停机格局 设M＝(Q, q0, F, ?, ?, B, ?)，其中 ?＝{0, 1, A}, ?＝{0, 1, A, B}, Q = { q0, q1}, 接受状态为q1，转换函数 ? 如下所示： 对于输入011A0，图灵机M的计算过程（格局转换）为： q0011A0├0q011A0├00q01A0├000q0A0├0000q00├00000q0B├00000Bq1 事实上，M就是一个零函数。 除了将图灵机理解为语言接受器之外，还可以将其理解为函数 计算装置。一个函数f的自变量可以当作一个符号串X编码到一 条输入带上，并用一特殊符号来隔开这些不同的自变量。如果 一 台图灵机在读入这个输入串并经过有限步计算后。在一条指定的带上输出一个整数y并停机，则可以说图灵机计算出了f(X)=y 13.2 不确定图灵机 如果假设图灵机的纸带两端都可以无限伸展，这样并不能增加图灵机 的计算能力，因为显然可以用纸带向一端能无限伸展的图灵机来模拟这种 纸带两端都可以无限伸展的图灵机 不确定图灵机记为NTM（Non-deterministic Turing Machine）。非确定型图灵 机和确定型图灵机的不同之处在于，在计算的每一时刻，根据当前状态和读写头所 读的符号，机器存在多种状态转移方案，机器将任意地选择其中一种方案继续运 作，直到最后停机为止。具体而言，其状态转移函数为： F: S × T → 2S×T×{-1,1} 其中S是状态集合，T是带字母表，{-1,1}分别表示读写头向左和向右移动；符号 2A表示集合A的幂集，即： 2A = { a | a ? A} NTM的不确定性使得它不能在现实的计算机上实现。即使如此，它的计 算能力还是与DTM相同 定理：对于任意一个非确定型图灵机M0存在一个确定型图灵机M‘， 使得L(M0)=L(M)。 证明：因为非确定型图灵机的计算过程可以构造出一棵特定树，因此只 需遍历该树就可以模拟其计算过程。一个比较简单的想法是利用深度优先 有哪些信誉好的足球投注网站来遍历M0的计算树，但这样行不通