第1章 机器人数学基础.ppt

说明： “A”表示被描述系的编号 “0”表示参考系的编号 点A在坐标系Si的齐次矩阵表示 点A在坐标系Sj的齐次矩阵表示 点A在坐标系之间的齐次变换 表示Sj的坐标系原点在Si下位置 表示Sj在Si下的姿态 位姿矩阵 ：表示Sj 坐标系在Si 坐标系中的位姿 S1:先与S0重合，绕x0旋转90°再沿x0移动20 y0 z0 x0 O0 z1 x1 y1 O1 20 z0 x0 y0 O0 y0 z0 x0 O0 z1 x1 y1 O1 O1 z1 x1 y1 例5：已知坐标系S1的位姿矩阵T1，当S1分别沿基系0系和动系S1进行T2变换时，S2的位姿？ z1 x1 y1 O1 20 z0 x0 y0 O0 z1 x1 y1 O1 20 z2 x2 y2 O2 第一种情况：沿动系S1变换 S2与S1重合 绕z1旋转90°，沿x1移动10 z0 x0 y0 O0 z1 x1 y1 O1 20 z2 x2 y2 O2 10 z0 x0 y0 O0 x2 O2 z2 y2 z0 x0 y0 O0 z1 x1 y1 O1 20 z2 x2 y2 O2 10 当S2是沿动系运动时用T2右乘 x2 y2 z2 O2 10 z1 x1 y1 O1 20 z0 x0 y0 O0 x2 O2 z2 y2 x2 y2 z2 O2 z0 x0 y0 O0 z1 x1 y1 O1 20 第二种情况：沿基系S0运动 S2与S1完全重合 再绕z0旋转90°再沿x0移动10 z0 x0 y0 O0 z1 x1 y1 O1 20 当S2是沿S0运动时用T2左乘 x2 y2 z2 O2 10 z0 x0 y0 O0 z1 x1 y1 O1 20 练习：沿xi轴移动20形成S1，再绕zi轴转动90°形成系S2，再沿z2移动10形成当前坐标系Sj，画出各坐标系并求Sj相对于Si的位姿矩阵。 解 xj zj yj Oj zi xi yi Oi y1 x1 z1 O1 20 x2 y2 z2 O2 10 zi xi yi Oi 四、位姿矩阵的逆阵 1．姿态矩阵的逆阵 2．位姿矩阵的逆阵 补充知识：旋转矩阵的两个正交性质 （1）R矩阵9个元素，3个是独立的，6个约束条件（正交条件） （2）R矩阵的逆阵等于转置矩阵 例7 下式为坐标系Sj与坐标系Si的变换， （1）画图标注变换矩阵的转角和移动量； （2）画图标注变换矩阵逆阵的转角和移动量； （3）写出逆阵的R阵和P阵。 yi xi Oi Oj yj xj θ 【解】 （1）画图标注变换矩阵的转角和移动量 yi xi Oi Oj yj xj θ -θ （2）画图标注变换矩阵逆阵的转角和移动量 yi xi Oi Oj yj xj θ -θ （3）写出逆阵的R阵和P阵 yi xi Oi Oj yj xj θ -θ 例8 坐标系SB相对于SA绕zA转（右旋）30?， 并沿xA，yA正向平移3，4单位，求 和 【解】 zA xA yA O1 zB 3 4 xB yB O2 30° 30° 由题意构造出坐标系B （1）绕x 轴旋转θ角的旋转变换矩阵： （2）绕y轴旋转θ角的旋转变换矩阵： 重要的旋转矩阵 （3）绕z轴旋转θ角的旋转变换矩阵： 附加：平移变换矩阵： 二、绕空间任意轴ω旋转θ角的旋转变换矩阵： ωx、 ωy、 ωz━轴ω的3个方向余旋； cθ ━cosθ； sθ ━sθ； versθ ━1-cosθ； 其中 1．旋转变换矩阵 一、动轴欧拉角表示法 姿态变化常用绕x,y或z轴的一系列旋转来确定。 §2-4 姿态矩阵的欧拉角表示法 313序列 首先绕zi右旋? 角，得到S1； 再以S1的x1轴为轴，右旋? 角得到S2； 最后以z2为轴，右旋?角得到Sj 323序列 1、欧拉矩阵 313序列 2、欧拉角的求解 设已知 求欧拉角φ、θ、ψ。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ z1 z2 z4 z3 o2 o1 o3 o4 x1 x2 x4 x3 z0 x0 o0 y4 o4 ① ② ③ ④ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ z1 z2 z3 o2 o1 o3 x1 x2 x3 z0 x0 o0 Ⅴ ⑤ x4 y4 ⑥ Ⅵ z4 o4 ① ② ③ ④ Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ z1 z2 z3 o2 o1 o3 x1 x2 x3 z0 x0 o0 Ⅴ x4 y4 ⑤ ⑥ Ⅵ z4 x y z 滚转角φ Roll 俯仰角θ Pitch 偏转角ψ Yaw 二、定轴欧拉角表示法 滚转、俯仰和偏转 ( Roll, Pitch and Yaw ) 1、RPY矩阵 规定旋转的次序为 RPY(?,θ,ψ)＝Ｒot(Z, φ)Ｒot(Y,θ)Ｒot(X,ψ)