第2章 粗糙集理论的基本概念.ppt

定理 2.8 给定一个论域U和其上的一个等价关系（知识）R,其对应的划分或商集为 。如果 ，都有 成立，则对于任意 ，都有 至此，我们已经介绍了两种刻画粗糙集的方法。其一为用近似程度的精确度来表示粗糙集的数字特征；其二为用粗糙集的分类表示粗糙集的拓扑特征。粗糙集的数字特征表示了集合边界域的大小，但没有说明边界域地结构；而粗糙集的拓扑特征没有给出边界域大小的信息，它提供的是边界域的结构。 此外，粗糙集的数字特征和粗糙集的拓扑特征之间存在一种关系。首先，如果集合为内不可定义或全不可定义，则其精度为0；其次，当集合为外不可定义或全不可定义时，则它的补集的精度为0。这样，即使知道了集合的近似精度，我们也不能确定它的拓扑结构；反过来，集合的拓扑结构也不具备精度的信息。 因此，在粗糙集的实际应用中，我们需要将边界域的两种信息结合起来，既要考虑近似精度因素，也要考虑到集合的拓扑结构。 下面再通过一个例子来说明这两种表示之间的关系。 例 2.17 给定一个知识库 和一个等价关系 .其中论域为 且R的等价类为： 试计算和讨论下列集合的数字特征和拓扑特征。 解：（1）对集合 下近似 上近似 因为 是R-可定义集， 边界域 近似精度 （2） 对集合 下近似 上近似 而言： 因为 ，同时 边界域 近似精度 （3）对集合 下近似 上近似 根据定义2.12可知，集合X3为R-内不可定义。 近似精度 所以X2是R-粗糙可定义。 边界域 （4） 对于集合 下近似 上近似 根据定义2.12可知，集合X4为R-外不可定义。 （5）对于集合 下近似 上近似 根据定义2.12可知，集合X5为R-全不可定义； 近似精度 边界域 近似精度 边界域 2.4 粗糙集中的隶属关系 在集合论中，成员与集合的隶属关系（成员关系）是所有关系中最基本的关系。对隶属关系的分析是我们进行计算、推理的基础。本节主要介绍粗糙集中的隶属关系。 2.4.3　粗糙集合论的成员关系 定义　2.14　给定一个知识库（近似空间） Ｋ＝(Ｕ,Ｓ)，其中，Ｓ为论域Ｕ上的等价关 系簇或单个的等价关系。 则定义 (２.１６) 为元素ｘ关于知识Ｒ的隶属于集合Ｘ粗糙隶属度，也称为集合Ｘ的Ｒ-粗糙隶属函数，其中，|·|表示集合的基数， [x]R表示元素关于知识R的等价类。 注：在粗糙集理论中，隶属度函数（成员关系）依赖于我们的知识R，即一个对象是否属于一个集合依赖于我们所掌握的知识R，成员关系并不是绝对的。 性质2.4 粗糙集理论中成员关系（隶属度函数） 的性质 值越大说明对象x属于集合X的 程度就越高。当 时，表明对象x依据知识R判断肯定不属于集合X；当 时，表明对象x依据知识R判断肯定属于集合X；当隶属度 时，表明对象x依据知识R判断有可能属于集合X,同时也有可能不属于集合X，即对象x落入集合X的Ｒ-边界域。这足以说明集合X的模糊性完全是由边界域不空引起的。 (2)对象x依据知识R判断肯定属于集合 对象x依据知识R判断可能属于集合 对象x依据知识R判断肯定不属于集合 就是集合X的特征函数。 提供的不可区分关系 是一个等价关系。 是论域U中两两互不相交的集合组成的集合簇，则?x?U，其隶属度函数定义为 （2.17） 我们可以利用粗糙隶属度函数来定义粗糙集合论的基本概念，例如上近似、下近似、边界域、正域、负域等。 定义 2.15 给定一个论域U和U上的一个等价关系R，?x?U，我们如下定义集合X的R-下近似集，R-边界域，R-正域，R-负域。 由此可以看出，粗糙集定义的两种方法都是强调粗糙集概念的各个方面。由近似定义诱导出粗糙集的拓扑结构，而隶属度函数的方法则强调它的数值性质,用概率论术语可以解释为： 在粗糙集理论中，一个对象是否隶属于某一集合（概念），不是该元素的客观性质，而且取决于我们对它的了解程度，即知识Ｒ的分类能力。这更符合人类的认知过程。 ２.５　粗糙集中的集合关系 ２.５.１集合的粗糙包含关系 粗糙集合论的基本概念之一是粗糙包含关系。类似地，我们可以通过上近似和下近似来定义粗糙包含关系。 显然，集合的包含关系不同于集合的粗糙包含关系，下面给出