第2章信息光学------ 二维线性系统分析.ppt

§2-3 抽样定理 二、抽样函数gs(x,y)的频谱 经过抽样后函数的频谱，是原连续函数的频谱以间隔1/X，1/Y 重复平移并叠加。 如果G (fx, fy)频带无限制，则这些频谱函数必然会叠加。 Gs(fx, fy) 即使G (fx, fy)是频带有限的函数，若X,Y取值不合适，这些重复的频谱函数之间也会互相重叠。 fx Gs(fx) 0 1/X 1/X 只有使这些频谱函数互不重叠，才有可能用滤波的方法，从中提取出原函数的频谱，进而求出原函数。 fx Gs(fx) 0 §2-3 抽样定理 二、抽样函数gs(x,y)的频谱 §2-3 抽样定理 三、抽样间隔 fx G(fx) -Bx Bx 0 Gs(fx, fy) (2) 原函数抽样时，在x方向和y方向抽样点的间隔 X 和Y不得大于1/(2 Bx)和1/(2 By)， (1) g(x,y)是限带函数，其频谱G (fx, fy)仅在频率平面上一个有限区域 上不为零 2 Bx, 2 By : 带宽: 包围 的最小矩形在 fx 和 fy方向上的宽度。 则Gs中各个区域(间隔为1/X,1/Y)的频谱就不会重叠 fx Gs(fx) -Bx Bx 0 1/X 有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。 §2-3 抽样定理 三、抽样间隔 fx Gs(fx) -Bx Bx 0 1/X 则Gs中各个区域（间隔为1/X,1/Y）的频谱就不会重叠，有可能用滤波的方法，提取出原函数的频谱G，进而求出原函数。 称为奈奎斯特(Niquest)间隔 只要以小于或等于奈奎斯特间隔对g(x,y)抽样，则gs(x,y)的频谱就是G (fx, fy)的周期性复现，包含了g(x,y)的全部信息。 §2-3 抽样定理 四、原函数的复原 为了从gs(x,y)中还原出g(x,y)，将gs(x,y)通过一个理想低通滤波器，只允许所有频率|fx|Bx, |fy|By 的频率分量无畸变地通过，而将此区域以外的频率分量完全阻塞。 fx Gs(fx) -Bx Bx 0 1/X 此理想低通滤波器的频率特性为频域中的矩形函数 §2-3 抽样定理 四、原函数的复原 用频域中宽度2Bx和2By的位于原点的矩形函数作为滤波函数: 滤波过程: 根据卷积定理，在空间域得到： §2-3 抽样定理 四、原函数的复原 若取最大允许的抽样间隔，即X =1/(2 Bx)，Y=1/(2 By) ，则用函数的抽样值计算出原函数： 原函数在分立点上的抽样值 插值函数 插值：由抽样点函数值计算非抽样点函数值 原函数在空域中表示为： §2-3 抽样定理四、原函数的复原抽样和还原的图示 g(x) 0 x comb(x/X) x . 0 = x 0 gs(x) * Xcomb(Xfx) 0 1/X fx -1/X ... ... fx G(fx) -Bx Bx 0 = fx Gs(fx) 0 Bx -Bx 3Bx -3Bx 1/X -1/X X1/(2Bx) F.T. F.T. F.T. 抽样 fx rect(fx/2Bx) -Bx Bx 0 . fx G(fx) -Bx Bx 0 = ? F.T. F.T. 还原 2Bxsinc(2Bx) fx 0 1 2Bx 1 2Bx * §2-3 抽样定理四、原函数的复原抽样和还原的图示 x 0 gs(x) 2Bxsinc(2Bx) fx 0 1 2Bx 1 2Bx x 0 gs(x) -X X 2X -2X * = sinc函数称为内插函数 频域滤波相当于空域的插值运算 连续函数具有的信息内容等效于一系列的信息抽样。重新恢复连续函数所必需的离散值的最小数目由抽样定理决定。 §2-3 抽样定理四、原函数的复原抽样和还原的图示 抽样 空域 g(x,y) 频域 G(fx,fy) comb(x/X)comb(y/Y) gs(x,y) Gs(fx,fy) 还原 低通滤波器 h(x,y) H(fx,fy) g(x,y)= gs(x,y)*h(x,y) G(fx,fy)= Gs(fx,fy)·H(fx,fy) 抽样定理表明: 在一定条件下可以由插值准确恢复原函数。 一个连续的限带函数可以由其离散的抽样序列代替，而不丢失任何信息。 §2-3 抽样定理五、抽样定理的适用性 在数学上，限带函数在空域上一定是无限扩展的函数 函数不可能在空域和频域都被限制在某一范围内。只要信号存在于有限的时空范围，就会有所有的频率分量。 严格的限带函数在物理上是不存在的。 但是，实际信号的大部分能量被一定范围的频率分量所携带。高频分量携带的能量甚少。由于忽略高频分量，所引入的误差可以忽略，故可近似看作限带函数。 因而抽样理论在信息的传输和处理中有重要的意义。 §2-3 抽样定理六