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第7节Crammar法则.ppt

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第7节Crammar法则

思考题 当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默 法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 思考题解答 不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解. * 行列式按行(列)展开 按第i行展开 注意: ai1…ain的值不影响Ai1…Ain 第七节 克拉默法则 ★ 一、引言 ★ 二、克拉默法则 ★ 三、重要定理 ★ 四、应用 ★ 五、小结 设线性方程组 则称此方程组为非 齐次线性方程组; 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念 一、克拉默法则 对于二元线性方程组 若系数行列式 则二元线性方程组的解为 如果n元线性方程组 的系数行列式不等于零,即 一般地, 其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式,即 那么线性方程组 有解,并且解是唯一的,解 可以表为 证明 用系数行列式中第一列元素的 代数余子式Ai1分别乘各方程 0 性质: D 的第2 列元素与第1列 对应元素的代数余子式 乘积之和等于零 D 按第一列展开 系数行列式 D1 按第一列 展开 D1 + 证毕 D ? 0 时,方程组有唯一解: D x1 = D1 D xi = Di ( i = 2、… n ) 同理 n 个 一元一次方程! Cramer法则的优点: 用方程的系数及常数项组成的行列式把解明显地表达出来,这在分析问题时非常方便,理论上具有重要意义. 缺点: 实际计算时需算许多行列式(n元算n+1个n阶行列式)当n较大时,计算困难更大. 克拉默法则只适用于方程个数与未知量个数相等的情形. 证明 在把 个方程依次相加,得 由代数余子式的性质可知, 于是 当 时,方程组 有唯一的一个解 由于方程组 与方程组 等价, 故 也是方程组的 解. 例1 用克拉默法则解方程组 解 例1 用克拉默法则解方程组 解: 首先考察系数行列式是否为零 所以,系数行列式 方程组有唯一解 定理1 如果线性方程组(1)的系数行列式D≠0,则(1)一定有解,且解是唯一的 . 逆否定理 :如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解,则它的系数行列式必为零. 克莱姆法则具有重大的理论价值! 理论上关心线性方程组(1)是否有唯一解。 这取决于系数行列式 D 是否为零。 着眼于此,克莱姆法则可叙述为如下两个定理 重要定理 齐次方程组理论十分重要! 数学中具有广泛的用途。 非齐次项 全部为零 齐次线性方程组 齐次方程组肯定有一组零解!关心是否还有非零解? 定理2:如齐次方程组的系数行列式 D ? 0,则 其只有零解(唯一解)。 逆否定理:如齐次方程组有非零解,则它的系数行列式 D 必为零。 齐次线性方程组的相关定理 有非零解. 系数行列式 例2 问 取何值时,齐次线性方程组 解 有非零解 有非零解? 所以 例2 问l 取何值时,下面齐次方程组有非零解? 解 有非零解 = (5-?)(6-?)(4-?) –4(6-?) – 4 (4-?) = (5-?)(6-?)(4-?) – 8 (5-?) = (5-?)(?-2)(?-8) = (5-?)[(6-?)(4-?) – 8] = (5-?)[ ?2 - 10? +16] 注意不要将D展开,应将其因式分解! 所以,l=2,5,8时,方程组有非零解。 解方程 所以 6可分解为: 显然 为一个解,方程可分解为 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 三、小结 思考题 1)当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克拉默法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何? 2)方程个数≠未知量个数,怎样确定方程组的解? 思考题解答 1)不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解; 2)引入新工具:矩阵。 例2 问 取何值时,齐次线性方程组 解 有非零解 有非零解? 所以 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数; (2)系数行列式不等于零. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导. 三、小结 *

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