向量二阶非线性积分微分方程边值问题的奇摄动.pdfVIP

2007，27A(6)：1133—1140 数学物理学报 向量二阶非线性积分微分方程边值问题的奇摄动 林苏榕 (福建广播电视大学计算机系 福州350003) 摘要：该文研究向量二阶非线性积分微分方程边值问题的奇摄动，在适当的条件下利用对角化 方法证明了解的存在性，构造出解的渐近展式并给出余项的一致有效的估计． 关键词：向量积分微分方程；边值问题；奇异摄动， MR(2000)主题分类：45J 中图分类号：O175．1 文献标识码：A 文章编号：1003—3998(2007)06—1133—08 1 引言 积分微分方程在很多领域中有着重要的应用，以往的工作多为研究初值问题[1】近年来 开始有人用微分不等式的方法研究纯量(一维)方程的边值问题【 ，但用微分不等式的方法 研究向量方程的边值问题的奇摄动尚有困难．本文采用对角化的方法克服了困难，取得了新 的结果．本文将研究非线性向量二阶积分微分方程Robin边值问题 (1．1) a(e)y(O，￡)一6(￡) (0，￡)=Q(￡)，c(￡) (1，￡)+d(￡) (1，￡)= (￡) (1．2) 的奇摄动，其中Y，f，Q(￡)， (￡)为r凡维向量，0(￡)，6(￡)，c(￡)，d(￡)为适当阶的矩阵函数，￡0 为小参数， 是定义在C[O，11上的积分算子 Ty=／ (t，s，￡) (s)ds，y(t)∈c[o，1]． √O 我们首先构造出(1．1)，(1．2)式解的形式展开式，然后借助于对角化方法证明了解的存 在性并给出解的一致有效的余项估计．文中恒假设下列条件成立． (H1) f(t， ，Y， ，￡)∈CⅣ+ ([0，1]×R。×[0，￡o])， (t，s，￡)∈cN+I([0，1]×[0，1]×[0，￡o])， 0(￡)，6(￡)，c(￡)，d(￡)∈cN+I([0，￡oJ)． 其中Ⅳ是任一给定的正整数，￡o是某一小正数，并且a(O)0，b(o)=0，6(￡) 0，c(o) 0，d(O)0； }收稿日期：2005—11—16；修订日期：2006—10 08 E-mail：lsr@fjrtvu．edu．cn l134 数 学 物 理 学 报 Vlo1．27A (H2) ( ， ，Y， ，￡) ml，0， ( ， ，Y， ，￡) II0，并且f(t， ，Y， ， )关于 满足 Lipschitz条件，其中 = o_L，i，J=1，2，…，n；m，z为两正数，l，为礼×n单位阵； (H3)，关于 满足Nagumo条件，即在[0，+∞)上存在某一正的、非减的连续函数西， 使得lIf(t， ，Y，z，￡)II ~(1lzl1)和当s—o。时S ／西(s)一oo； (H4)退化问题： f(t，Tyo，yo， ，0)=0，0(0) (0)= (0)在[0，1]上有唯一解yo(t)，其中 Tyo= ． ( ，s，O)yo(s)ds． 对于向量函数或矩阵函数A(t)=(叭 ( ))E c[o，1]，规定范数为 IA(t)l=[∑。2 (t)]2，IIA(t)ll=。m…ax IA(t)l， 零、零向量和零矩阵都将表示为0 2 构造形式渐近解 我们设想形式渐近解为 y(t，￡)=Y(t，￡)+eU(W，￡)， (2．1) 其中Y(t，￡)为外部解，u(T，￡)是边界层函数，丁=(1一 )／￡，并设 Y(t，￡)=yo(t)+~