第二章2-2-矩阵的运算.ppt

， ， 容易看出,(AB)C与A(BC)都是m×n矩阵,因此只需证明(1)式两端的对应元素相等即可. 设 这里仅对(1)进行证明 ， ， 由矩阵乘法的定义，矩阵(AB)C中第i行第j列的元素为 (2.2.1)式右端正好是矩阵A(BC)中第i行第j列的元素,根据矩阵相等的定义,有 (2.2.1) ， 因为矩阵的乘法满足结合律,所以可以给出方阵的正整数次幂的概念. 定义2.2.5 设A是n阶矩阵,k为正整数,定义k个A的连乘积为A的k次幂,记作Ak,即 这里规定A0=E. 根据矩阵乘法的结合律,容易证明 (m,l均为正整数). 由于矩阵乘法不满足交换律,在一般情况下,对于n阶方阵A与B， 对于方阵A,我们还可以定义矩阵多项式.设 是x的m次多项式,A是一个n阶方阵,E为n阶单位阵,称 为方阵A的多项式.显然,f (A)仍是一个n阶方阵. 例2.2.7 设 计算f (A). 解 ， ， 例2.2.8 设矩阵 A=PQ 其中 求A10. 解 由于 ， ， 所以 前面讨论了矩阵的乘法及其运算规律,下面给出关于方阵行列式的一些性质. 定理2.1.1 设A、B均为n阶方阵,k为常数,则 (1) |kA|= |A|； (2) |AB|=|A||B|. ， ， 证 应用矩阵的数乘定义及行列式的性质2,立即可得到(1).下面证明(2).根据拉普拉斯展开定理,有 ， ， 这时用b11,b21,…,bn1分别去乘上式右端2n阶行列式的第1,第2,…,第n列,都加到第n+1列上,其次用b12,b22,…,bn2分别去乘这 线性代数 朱立永 北京航空航天大学 数学与系统科学学院 答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30 答疑地点：J4-102 §2.1 矩阵的概念 §2.2 矩阵的运算 §2.3 逆矩阵 §2.4 分块矩阵 §2.5 初等变换与初等矩阵 本章的主要内容 §2.6 矩阵的秩 2.2.1 矩阵的加法与数乘 §2.2 矩阵的运算 定义2.2.1 两个矩阵 A = (aij) m×n , B=(bij)s×t ,如果m=s, n=t,称A与B是同型矩阵;若数域P上的同型矩阵 A= (aij) m×n 与B=(bij) m×n的对应元素相等,即 aij = bij (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n), 则称A与B相等,记作A=B. ， ， 定义2.2.2 设A=(aij)m×n, B=(bij) m×n为数域 P 上的两个同型矩阵，称矩阵 (aij+bij) m×n为矩阵A与B的和,记作 . 由矩阵加法的定义可以看出,只有同型矩阵才能进行加法运算,两个矩阵相加等于矩阵中对应元素相加. 定义2.2.3 设A=(aij)m×n为数域P上的矩阵,k∈P.数k与矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵(kaij)m×n称为数k与矩阵A的数量乘积,简称为数乘,记作 . 矩阵的加法与数量乘积称为矩阵的线性运算. ， ， 若矩阵A=(aij)m×n,则称矩阵 (-aij)m×n为矩阵A的负矩阵,记为-A. 由矩阵的数乘,得 . 利用负矩阵,并借助于矩阵的加法,可定义矩阵的减法. 设矩阵A=(aij)m×n,B=(bij)m×n,A与B的减法定义为 . 设A,B,C均为数域P上的m×n矩阵, k,l∈P,不难验证,矩阵的加法和数乘满足如下运算规律: (1) 加法交换律 A+B=B+A; (2) 加法结合律 (A+B)+C=A+(B+C); (3) A+O=O+A=A,这里O是与A同型的零矩阵; (4) A+(-A)=(-A)+A=O； (5) k(A+B)=kA+kB； (6) (k+l)A=kA+lA； (7) (kl)A=k(lA)=l(kA)； (8) 1A=A,0A=O. 例2.2.1 设2A+3X=B,且 , 求矩阵X. ， ， 解 在矩阵方程两端同加上-2A,得 ， ， 在这个方程两端同乘以 ,得 2.2.2 矩阵的乘法 在给出矩阵乘法的定义之前,我们先看一个解析几何中关于坐标旋转的例子. 设按逆时针方向将平面直角坐标系xoy转一个角度α后,得到坐标系xoy,这时得新