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第二节 正项级数及其审敛法 思考题 正项级数审敛法小结 * 1、定义: 为正项级数. 2、正项级数收敛的充要条件: 基本定理 部分和数列 为单调增加数列. 3、正项级数比较审敛法1 证明 即部分和数列有界 不是有界数列 定理证毕. 解 重要基本级数 几何级数, p - 级数, 调和级数. 证明 证明 当级数一般项较复杂时，不容易比较，可用下列比较判别法的极限形式 4、比较审敛法的极限形式:(比较审敛法2) 两个级数有相同的敛散性 ； (1) 当 0 ? l ? ?? 时, (2) 当 l ? 0 时, (3) 当 l ? ?? 时, 证明 由比较审敛法的推论, 得证. 解 原级数发散. 故原级数收敛. 5、比较审敛法3 (比阶审敛法) 6、比值审敛法 (D’Alembert判别法) 级数收敛 ； (1) 当 0 ? ? ? 1 时, (2) 当 1? ? ? ?? 时, (3) 当 ? ? 1 时, 级数发散 ； 级数敛散性需另行判定. 比值审敛法的优点: 不必找基本级数. 两点注意: 2. 条件是充分不必要的. 解 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 解 解 级数收敛； 级数发散； 说明: 解 ∴ 原级数收敛 . 两种判别法可结合应用. 7.根值审敛法 (柯西判别法)： 级数收敛 ； (1) 当 0 ? ? ? 1 时, (2) 当 1? ? ? ?? 时, (3) 当 ? ? 1 时, 级数发散 ； 级数敛散性需另行判定. 8、利用级数收敛的必要条件可以求数列极限 例：求数列的极限 9、正项级数的柯西积分审敛法 (课本Page 240)