第五章劳斯判据.ppt

本章主要内容 系统（运动）稳定性概念 (Stability) 熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据 静态误差计算 (Static Error) 有关定义和计算 二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System) 各类性能指标定义和二阶系统运动分析 5.1 控制系统的稳定性分析 5.1.1 系统稳定性的概念及条件 5.1.2 劳斯(E. J. Routh)稳定判据 劳斯行列式： 例5.1 例5.2 几种特殊情况 例5.4 （2）某行的系数都为零 例5.5 例5.6 5.1.3 劳斯稳定判据的应用 例5.7 例5.8 解： 解：（2） * * 第五章 线性定常连续系统分析 控制系统设计的首要目的就是要确保被控系统的稳定； 控制系统的稳定性：输入是有界信号时，当t→∞时，其输出也是有界值； 线性系统的稳定性是系统自身的一种属性。 一个稳定系统可定义为：在有界输入的情况下，其输出也是有界的。 系统稳定的充分必要条件是系统特征根（极点）全部具有负实部。 解析方法 － 求解系统的特征方程 高阶系统求解困难 劳斯稳定判据 已知系统的特征方程式为： (1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 — 必要条件； (2) 劳斯行列式第一列的系数全为正 — 充分条件； (3) 第一列的系数符号改变的次数等于实部为正的根的个数。 系统稳定的必要且充分条件是：在系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中第一列的系数全为正号。 劳斯稳定判据： 利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。 解： 它的特征方程式是： 特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件， 劳斯行列式： 劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。 实际上该系统的4个根为： 若一系统的特征方程为： 利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。 解： 列写劳斯行列式： 该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根，系统不稳定。 系统的4个根为： 符号改变一次 → 符号改变一次 → （1）第一列有零值出现 用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式的计算； 当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的符号变化次数； 若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可利用辅助方程求出； 若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不稳定根的个数。 S5 1 2 1 S4 2 4 1 S3 0 0 S2 1 0 S1 0 0 S0 0 0 0 系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右半平面。 特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c)) 例5.3 试判定该系统的稳定性，系统特征方程为： 解： 计算劳斯行列式如下： ε→0 首列整理为: 系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。 方程解为： 0 5/2 符号改变一次 → 符号改变一次 → l?表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反； l? 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由 的系数代替零行，继续 劳斯行列式的计算； l?辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以 通过求解辅助方程求出那些对根。 试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为： 解： 计算劳斯行列式 辅助多项式： 0 0 求p(s)对s 的导数: 导数方程的系数代入s3 行。 8 96 可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根： 行列式第一列系数符号变化一次， 说明系统有一个正实部的根，系统不稳定。 辅助方程是系统特征方程的一个因子式。 1、判断系统的稳定性 2、分析系统参数对系统稳定性的影响